Additionstheoreme: sin(x)+sin(y)

09.11.2009, 00:11	TB	Auf diesen Beitrag antworten »
Additionstheoreme: sin(x)+sin(y) Wunderschönen Guten Abend … Ich soll mit hilfe der Add.theoreme folgende Formel herleiten: $\begin{eqnarray} Sin(x)+sin(y)=2sin(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2}) \end{eqnarray}$ beweisen… Bin dann einfach von ausgegangne dass es richtig ist und habe folgende sgemacht: $\begin{eqnarray} 2sin(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2})<br /> =sin(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2})+sin(\frac{x+y}{2})(cos(\frac{x-y}{2})<br /> =sin(\frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{2})-sin(\frac{x-y}{2})cos(\frac{x+y}{2})+ sin(\frac{x+y}{2})(cos(\frac{x-y}{2}) \end{eqnarray}$ Den ersten summanden hab ich damit halb ausgerechnet und der ergibt schonmal sin(x) Wenn ich den zweiten und dritten jetz weiter ausrechne, komme ich da auch auf sin(x) … Und sin(x)-sin(x) ist 0 … ?!
09.11.2009, 01:00	TB	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ich habs! morgen schrieb ich die lösung hier rein ... für die die den weg noch mal brauchen könnten :P den fehler hab ich zwar noch nich gefunden aber dafür den weg ansatz: symmetrieeigenschaften von sin und cos gute nacht an alle
09.11.2009, 11:57	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
da brauchst du keine symmetrieeigenschaften, einfach ausmultiplizieren, geeignet zusammenfassen und beachten $\begin{eqnarray} sin^2x+cos^2x=1 \end{eqnarray}$
09.11.2009, 18:57	TB	Auf diesen Beitrag antworten »
ok....dann zeig mal bitte, wie du das gemacht hast, ich schreib meinen weg hier rein: $\begin{eqnarray} <br /> sin(x)+sin(y)<br /> =_{(1)}sin(\frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{2})+_{(2)}sin(\frac{y+x}{2}+\frac{y-x}{2})<br /> =_{(a)}sin(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2})+_{(b)}sin(\frac{x-y}{2})cos(\frac{x+y}{2}) _{=(1)}<br /> + _{(c)}sin(\frac{y+x}{2})cos(\frac{y-x}{2})+_{(d)}sin(\frac{y-x}{2})cos(\frac{y+x}{2}) _{=(2)}<br /> <br /> \end{eqnarray}$ so jetz sind es 4 Summanden (gekennzeichnet mit tiefergestellten Buchstaben) und nun habe ich folgendes gemacht: (a) ist stehen geblieben (b) bleibt auch stehen (c) Die Symmetrie des cos ausgenutzt: $\begin{eqnarray} cos(\frac{y-x}{2})=cos(\frac{-y+x}{2}) \end{eqnarray}$ (d) Punktsymmetrie des sin ausgenutzt, damit es sich mit (b) aufhebt: $\begin{eqnarray} sin(\frac{y-x}{2})=-sin(\frac{-y+x}{2}) \end{eqnarray}$ da ergibt sich dann folgendes: $\begin{eqnarray} _{(a+c)}+_{(b+d)}<br /> =_{(a)}sin(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2})+_{(c)}sin(\frac{y+x}{2})cos(\frac{-y+x}{2})<br /> +_{(b)}sin(\frac{x-y}{2})cos(\frac{x+y}{2})-_{(d)}sin(\frac{-y+x}{2})cos(\frac{y+x}{2})<br /> =2sin(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2})+0 \end{eqnarray}$ ich weiß, ein wenig mühselig, aber nungut , man kommt zumindest auf das ergebnis

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