Gradient und Skalarprodukt

09.11.2009, 08:18	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
Gradient und Skalarprodukt Hallo! Ich muss den Gradienten eines Standard-Skalarprodukts bestimmen. Dabei wollte ich wissen, wie man auf das Ergebnis kommt: $\begin{eqnarray} \operatorname{grad} F(x) = \operatorname{grad} \langle Ax,Ax \rangle = \operatorname{grad} (Ax)^T Ax= \operatorname{grad}x^T A^T Ax \stackrel{?}= 2A^T A x \end{eqnarray}$ Bei einem Bsp. kleiner Dimension kann ich das Skalarprodukt ausrechnen und dann partiell ableiten. Jedoch in allgemeiner Form benötige ich das nun auch. Ich habe es mit der Produktregel versucht: $\begin{eqnarray} \operatorname{grad} x^T A^T Ax = I \cdot A^T Ax + x^T \cdot A^T A \end{eqnarray}$ Wie man sieht, gehört der hintere Teil noch transponiert. Aber warum? Wo ist mein Denkfehler?
09.11.2009, 09:33	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst vom folgenden Skalarprodukt den Gradienten bilden $\begin{eqnarray} (Ax\|Ax) \end{eqnarray}$ Allgemein kann man die Matrix A vom ersten Faktor auf den zweiten Faktor überwälzen, wobei dann die transponierte Matrix genommen werden muss, also $\begin{eqnarray} (x\|A^{T}Ax) \end{eqnarray}$ Der Gradient ist also zu bilden von $\begin{eqnarray} (x\|A'x) \end{eqnarray}$ mit der symmetrischen Matrix $\begin{eqnarray} A'=A^{T}A \end{eqnarray}$ Wir berechnen den Gradienten einfach anhand eines Beipiels im 3D-Fall. Hier lautet die quadratische Form. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A'_{11} & A'_{12} & A'_{13} \\ A'_{21} & A'_{22} & A'_{23} \\ A'_{31} & A'_{32} & A'_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ausmultiplizieren ergibt $\begin{eqnarray} A'_{11}x^2+A'_{12}xy+A'_{13}xz+A'_{21}yx+A'_{22}y^2+A'_{23}yz+A'_{31}zx+A'_{32}zy+A'_{33}z^2 \end{eqnarray}$ Bilde davon nun die 3 Ableitungen nach x, y, z. Ableiten nach x ergibt offenbar $\begin{eqnarray} 2A'_{11}x+A'_{12}y+A'_{13}z+A'_{21}y+A'_{31}z \end{eqnarray}$ Da die Matrix A' symmetrisch ist, also $\begin{eqnarray} A'_{ij}=A'_{ji} \end{eqnarray}$ , kann man die letzten 4 Summenden zusammenfassen zu $\begin{eqnarray} 2A'_{11}x+2A'_{12}y+2A'_{13}z \end{eqnarray}$ Der Kürze halber bezeichnen wir die erste Zeile der Matrix A' wie folgt als Vektor $\begin{eqnarray} \vec A'_1=(A'_{11}\|A'_{12}\|A'_{13}) \end{eqnarray}$ Damit kann man die obige Ableitung der quadratischen Form nach x als Skalarprodukt zusammenfassen $\begin{eqnarray} 2 (\vec A'_{1}\|\vec x) \end{eqnarray}$ Nach dem gleichen Prinzip ergeben die Ableitungen nach y und z die Skalarprodukt $\begin{eqnarray} 2 (\vec A'_{2}\|\vec x) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} 2 (\vec A'_{3}\|\vec x) \end{eqnarray}$ . Jetzt kennenwir also die drei einzelnen Ableitungen der quadratischen Form nach x, nach y und nach z. Diese fassen wir zun zu einem Gradientenvektor zusammen, indem wir die drei Zeilenvektoren $\begin{eqnarray} \vec A'_1 ,\vec A'_2, \vec A'_3 \end{eqnarray}$ wieder als Matrix A' zusammenfassen. Damit ergibt der Gradient insgesamt den Ausdruck $\begin{eqnarray} 2A' \vec x \end{eqnarray}$

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