komplexe Koordinaten

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09.11.2009, 09:14	Philodoof	Auf diesen Beitrag antworten »
komplexe Koordinaten "In der Ebene seien drei Punkte $\begin{eqnarray} \left(a_i,b_i\right),i \end{eqnarray}$ mit den Koordinaten {1,2,3} gegeben. Berechnen sie den Mittelpunkt des Kreises auf dem diese Punkte liegen." Ich dachte es würde bedeuten, dass die drei Punkte (1, 1i), (2, 2i) und (3, 3i) sind, aber die könnten ja niemals zusammen auf ein und demselben Kreis liegen. Wie sind denn die Koordinaten stattdessen aufzufassen?
09.11.2009, 09:20	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komplexe Koordinaten Du mußt das schon richtig lesen: du hast 3 Punkte (a_1, b_1), (a_2, b_2) und (a_3, b_3).
09.11.2009, 09:24	Philodoof	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann hätte ich ja aber doch eigentlich gar keine Punkte. Das sind ja dann nurmehr Nummerierungen der Variablen, oder? Und ohne Angaben kann ich doch keinen Mittelpunkt errechnen.
09.11.2009, 09:29	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso nicht? Du kannst doch auch den Mittelwert der Variablen a und b angeben.
09.11.2009, 09:34	Philodoof	Auf diesen Beitrag antworten »
Mittelwert? Du meinst Mittelpunkt, oder?
09.11.2009, 09:44	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, ich meinte Mittelwert und das hat jetzt nichts mit deiner Aufgabe zu tun. Ich wollte nur klar machen, daß man für etwas eine Formel angeben kann, ohne daß man konkrete Zahlenwerte kennen muß.
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09.11.2009, 09:52	Philodoof	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber für einen Mittelwert brauche ich doch Werte, deren Mittel ich bestimme. Werte habe ich ja doch aber nicht.
09.11.2009, 10:05	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Du tust dich wirklich schwer. Lös dich doch mal davon, daß man zur Berechnung irgendwelcher Dinge konkrete Zahlen braucht. Also nochmal meine Frage (von der ich glaubte, daß sie ganz einfach ist): wie berechnet man den Mittelwert zweier Zahlen a und b?
09.11.2009, 10:17	Philodoof	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ich bin nicht so gut in Mathe und auch allgemein für eine lange Leitung bekannt, aber für Physik brauch ich es jetzt nicht nur mehr sondern auch auf deutlich höherem Niveau. Ich versuche mich ja reinzubeißen, aber alleine gelingt mir das irgendwie nicht, da ich die allgemeinen Hilfen und Erklärungen im Internet meist nicht verstehe und eher jemanden brauche der auch auf mich eingehen kann und sieht, wo meine Verständnisprobleme liegen. Deswegen will ich eigentlich auch Nachhilfe haben, wenn ich es durchziehe(bin am Überlegen ob ich aufgeben und etwas anderes studieren soll). Habe meine Bärchenmutter(so nennt man Erstsemestern zur Unterstützung zugeteilte höhere Semester) per Email gefragt, wie das abläuft, wenn man sich Nachhilfe besorgen will, aber die hat mir bis heute darauf noch nicht geantwortet. (a + b)/2 ist die Formel dazu.
09.11.2009, 10:41	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
OK. Jetzt wieder zurück zur ursprünglichen Aufgabe. Du hast 3 beliebige Punkte und gesucht ist eine Formel für den Mittelpunkt des Kreises, auf dem diese Punkte liegen. Wenn du mal auf einem Blatt irgendwo 3 Punkte zeichnest, wie gehst du dann vor, um den Mittelpunkt zu bestimmen?
09.11.2009, 10:45	Philodoof	Auf diesen Beitrag antworten »
Indem ich die 3 Punkte als Dreieckseckpunkte ansehe. Senkrecht zu den Strecken der Punktverbindungen ziehe ich durch die Mittelpunkte dieser Strecken Geraden, die sich im Mittelpunkt dann schneiden. EDIT: Also im Mittelpunkt des Umkreises, nicht des Dreieckes. Das war wohl nicht ganz eindeutig formuliert.
09.11.2009, 11:02	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Jetzt mußt du das "nur" in Formeln für 3 Punkte mit allgemein gegebenen Koordinaten gießen. Beachte, daß du nur 2 Mittelsenkrechte benötigst.
09.11.2009, 11:12	Philodoof	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das hier dann meine Formel? Habe mit dem Skalarprodukt gearbeitet und dann die beiden Terme gleichgesetzt, da sie ja beide 0 sind. $\begin{eqnarray} \left(M_KM_P\left(P_1P_2\right) \right)_1 \cdot \left(P_1P_2\right)_1 + \left(M_KM_P\left(P_1P_2\right) \right)_2 \cdot \left(P_1P_2\right)_2 = \left(M_KM_P\left(P_2P_3\right) \right)_1 \cdot \left(P_2P_3\right)_1 + \left(M_KM_P\left(P_2P_3\right) \right)_2 \cdot \left(P_2P_3\right)_2 \end{eqnarray}$ EDIT: ne Bullshit, das müsste ja mindestens noch nach M aufgelöst werden, aber dafür ist das wohl zu evrschachtelt und damit der Ansatz falsch. EDIT2: Oder darf ich meine Klammererei ein stückweit ignorieren und $\begin{eqnarray} M_K \end{eqnarray}$ ausklammern, nachdem ich die komplette rechte Seite durch Subtraktion nach links holte?
09.11.2009, 11:33	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Durch das Gleichsetzen verlierst du die Information, daß jede Seite Null ist. Am besten machst du 2 Gleichungen draus und nimmst die x- bzw. y-Koordinatan der Punkte.
09.11.2009, 12:40	Philodoof	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht so eine Gleichung dann so aus? $\begin{eqnarray} \left(M_K\left(\frac{a_1}{2},\frac{a_2}{2} \right) \right) \cdot \left(a_1,a_2\right) + \left(M_K\left(\frac{b_1}{2},\frac{b_2}{2} \right) \right) \cdot \left(b_1,b_2\right) = 0 \end{eqnarray}$
09.11.2009, 12:52	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Bevor wir uns über Gleichungen Gedanken machen, sollten Begriffe geklärt werden. Was ist z.B. $\begin{eqnarray} (P_1 P_2) \end{eqnarray}$ ?
09.11.2009, 12:58	Philodoof	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meinte damit die Strecke. Im Formeleditor fand ich nicht diesen Überstrich, mit dem wir eine Strecke sonst kennzeichnen. Habe es in Klammern gesetzt weil es ja nur um den Mittelpunkt dieser Strecke geht, und deshalb setzte ich Mp davor.
09.11.2009, 13:11	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
OK. Welche Koordinaten hat nun der Mittelpunkt von P1 und P2 ?
09.11.2009, 17:20	Philodoof	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde sagen: $\begin{eqnarray} (\frac{a_1+a_2}{2}/\frac{b_1+b_2}{2}) \end{eqnarray}$
09.11.2009, 18:28	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
OK. Jetzt brauchen wir noch die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{P_1P_2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{M_K M_{P_1P_2}} \end{eqnarray}$ . Setze dabei M_K = (a_k, b_k).
10.11.2009, 11:34	Philodoof	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \vec{P_1P_2} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \left(a_2-a_1/b_2-b_1\right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{M_KM_{P_1P_2}} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} (\frac{a_1 + a_2}{2} - a_k/\frac{b_1 + b_2}{2} - b_k) \end{eqnarray}$ Stimmt das so?
10.11.2009, 11:59	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.
10.11.2009, 12:57	Philodoof	Auf diesen Beitrag antworten »
Und dann folgt wohl: $\begin{eqnarray} (a_2-a_1)(\frac{a_1 + a_2}{2} - a_k) + (b_2-b_1)(\frac{b_1 + b_2}{2} - b_k) = 0 \end{eqnarray}$ und daraus folgt: $\begin{eqnarray} \frac{a_2^{2}-a_1^{2}}{2} -a_2a_k + a_1a_k + \frac{b_2^{2}-b_1^{2}}{2} -b_2b_k + b_1b_k = 0 \end{eqnarray}$ aber wie komme ich dann irgendwann auf eine Formel für den Mittelpunkt? Wenn ich die von K abhängigen Terme auf die andere Seite addiere, $\begin{eqnarray} \frac{a_2^{2}-a_1^{2}}{2} + \frac{b_2^{2}-b_1^{2}}{2} = a_2a_k - a_1a_k + b_2b_k - b_1b_k \end{eqnarray}$ kann ich im Anschluss ja nicht vernünftig ausklammern.
10.11.2009, 13:04	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt ja auch noch eine zweite Gleichung, bei der der Punkt P3 eingebaut ist.
10.11.2009, 13:13	Philodoof	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja: $\begin{eqnarray} \frac{a_3^{2}-a_2^{2}}{2} -a_3a_k + a_2a_k + \frac{b_3^{2}-b_2^{2}}{2} -b_3b_k + b_2b_k = 0 \end{eqnarray}$ Ich sehe aber auch hiermit keinen Weg um auf eine wunschgemäße Form zu kommen.
10.11.2009, 14:00	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Immerhin hast du jetzt ein Gleichungssystem, in dem die gesuchten Variablen a_k und b_k linear vorkommen.
10.11.2009, 14:20	Philodoof	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber weder wenn ich die Zeilen addiere, noch wenn ich sie gleichsetze, komm ich auf irgendwas gescheites.
10.11.2009, 15:03	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun ja, du mußt schon die üblichen Verfahren anwenden. Am besten schreibst du erstmal die beiden Gleichungen komplett hin, wobei du die konstanten Summanden auf die rechte Seite bringst.
10.11.2009, 15:09	Philodoof	Auf diesen Beitrag antworten »
Also so? I: $\begin{eqnarray} \frac{a_2^{2}-a_1^{2}}{2} + \frac{b_2^{2}-b_1^{2}}{2} = a_2a_k - a_1a_k + b_2b_k - b_1b_k \end{eqnarray}$ II: $\begin{eqnarray} \frac{a_3^{2}-a_2^{2}}{2} + \frac{b_3^{2}-b_2^{2}}{2} = a_3a_k - a_2a_k + b_3b_k - b_2b_k \end{eqnarray}$
10.11.2009, 15:20	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch etwas umgeformt: I: $\begin{eqnarray} (a_2 - a_1) \cdot a_k + (b_2 - b_1) \cdot b_k = \frac{a_2^{2}-a_1^{2}}{2} + \frac{b_2^{2}-b_1^{2}}{2} \end{eqnarray}$ II: $\begin{eqnarray} (a_3 - a_2) \cdot a_k + (b_3 - b_2) \cdot b_k = \frac{a_3^{2}-a_2^{2}}{2} + \frac{b_3^{2}-b_2^{2}}{2} \end{eqnarray}$ Der Rest geht jetzt eigentlich nach Schema F.
10.11.2009, 19:48	Philodoof	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, okay. Dann sehr vielen Dank dafür, dass du dich auf eine so langwierige Hilfestellung eingelassen und mich nicht auf halber Strecke aufgegeben hast.

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