Von 4 Vektoren aufgespannte Menge Lebesgue-Meßbar?

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09.11.2009, 11:16	DieJuline	Auf diesen Beitrag antworten »
Von 4 Vektoren aufgespannte Menge Lebesgue-Meßbar? Hey ich habe da ein kleines Problem eine Aufgabe zu verstehen. Ich habe 4 Vektoren: $\begin{eqnarray} v_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ^{T} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} ^{T} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_{3} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} ^{T} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_{4} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ^{T} \end{eqnarray}$ Und die Menge die von diesen 4 Vektoren aufgespannt wird: $\begin{eqnarray} P=\left\{ \sum_{k=1}^4~t_{k} \cdot v_{k} : t_{k}\in \left[0,1\right] \right\} \end{eqnarray}$ Jetzt soll ich zeigen dss die Menge Lebesgue-Meßbar ist und ihr 4-dimensionales Volumen $\begin{eqnarray} \lambda (P) \end{eqnarray}$ angeben. Mit fehlt da irgendwie der Ansatz. In einer 1-dim Menge würde ich vermutlich noch hinkommen, aber so Hättet ihr vielleicht einen Ansatz für mich, damit ich etwas vorrechnen kann?
09.11.2009, 11:26	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja, was hast du denn an Vorkenntnissen, dass man dich geeignet zur Lösung $\begin{eqnarray} \lambda(P) = \left\| \det\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 \end {pmatrix} \right\| \end{eqnarray}$ leiten kann?
09.11.2009, 13:13	DieJuline	Auf diesen Beitrag antworten »
hey danke schonmal für deine schnelle Antwort. Also die Vektoren sind doch nicht transponiert. Mit Matrizen haben wir noch nicht gearbeitet. Klar ist es einfach jettz die Determinante auszurechnen, ich versuche mir gerade bildlich vorzustellen wieso das so ist. Bisher haben wir nur die Eigenschaften von Lebesgue-Maßbaren Mengen aufgeschrieben (Irgendwie mit Überdeckung von Quardern) und einige Sätze dazu. Aber diese ganzen Sätze kommen mir ehrlichgesagt Spanisch vor, kein Einziger scheint hier her zu passen Malen kann ich die Menge auch irgendwie nicht, da sie 4 dimensional ist. Die Determinante jetzt auszurechnen macht wenig sinn, möchte es ja auch irgendwie verstehen. Die Menge ist ja nichteinmal ein Quader Die Juline
09.11.2009, 13:25	DieJuline	Auf diesen Beitrag antworten »
Um überhaupt etwas selbst zu machen: $\begin{eqnarray} det \| \begin{pmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} v_{4} \end{pmatrix} \| = 150-0 = 150 \end{eqnarray}$ Aber wieso kann man das in dem Falle so machen, und warum ist diese Menge zwingend Lebesgue Meßbar
09.11.2009, 14:01	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist ein Würfel $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ L-messbar ? Kann man eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} f: \mathbb R^4\to\mathbb R^4 \end{eqnarray}$ finden, die $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ in das komische Gebilde aufgespannt von deinen vier Vektoren überführt? Dann gibt es ein Satz, der sagt etwas über das Verhalten des Lebesgue-Masses unter lineare Abbildungen aus.
09.11.2009, 14:09	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
@Juline Ich komme auf 135 statt auf 150.
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09.11.2009, 14:26	DieJuline	Auf diesen Beitrag antworten »
Dachte mit es wäre bereits ein Würfel, der nur durch eine drehmatrix gedreht wäre ... dies ist aber leider ein Trugschluss, da die Vektoren nicht Senkrecht aufeinander sind Ach man ich glaube ich bin einfach nur blöde. Ich rechne nochmal vielleicht finde ich ja etwas raus!
09.11.2009, 15:10	DieJuline	Auf diesen Beitrag antworten »
@ArthurDent Ich komme leider immer wieder auf 150, egal wie oft ich rechne. $\begin{eqnarray} det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 5 \\ 2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 0 \end{pmatrix} = 5235 = 150 \end{eqnarray*}$ irgendie sehe ich meinen Fehler nicht und ein Würfel ist das Ding auch nicht!
09.11.2009, 15:16	DieJuline	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wenn ich das ganze mit der Definition des lebesguemaßes ausrechne kommt $\begin{eqnarray} v1v2v3v4 = \| \begin{pmatrix} 5 \\ 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \| = \sqrt{81} \end{eqnarray*}$ raus. Jetzt bin ich verwirrt.
09.11.2009, 19:58	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
@DieJuline Du hast jetzt nicht etwa die Sarrussche Regel in eigenmächtiger Weise von Dimension 3 auf Dimension 4 erweitert??? Das ist falsch, diese "Regel" für Dimension 4 gibt es nicht, jedenfalls nicht in dieser einfachen Form, die du hier angewandt hast.
09.11.2009, 20:40	DieJuline	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt Die Regel habe ich einfach angewendet. Aber hilft ja alles nichts ... könntest du mir denn einen Wink mit dem Zaunpfahl geben. Würde gerne verstehen ob es a) ein Würfel ist obwohl die Vektoren nicht orthogonal sind und b) wieso die determinante ausreicht Juli.
10.11.2009, 18:08	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlich ist es kein Würfel. Aber das habe ich auch nie behauptet. Ich habe dich lediglich gefragt ob ein Würfel $\begin{eqnarray} W\subset\mathbb R^4 \end{eqnarray}$ Lebesgue-messbar ist. Und das ist er. Nun ist das Bild jeder messbaren Menge unter einer linearen Abbildung wieder Lebesgue-messbar. Das Gebilde von deinen vier Vektoren kann man betrachten als das Bild von $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ unter einer linearen Abbildung $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} e_1\mapsto v_1 \end{eqnarray}$ ... $\begin{eqnarray} e_4\mapsto v_4 \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} e_1,...,e_4 \end{eqnarray}$ die Standardbasisvektoren von $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ sind. Nun habt ihr sicherlich einen Satz gehabt der sagt, wie sich dann das Mass ändert, sprich: $\begin{eqnarray} \mu(f(W))=?\cdot\mu(W) \end{eqnarray}$ .

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