Konvergenz und Summe einer Reihe

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Marv89 Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz und Summe einer Reihe
Also meine Aufgabe ist:

Prüfen Sie die Konvergenz und berechnen sie ggf. die Summe für:


Nachdem ich ein paar Zahlen eingesetzt sieht man ja, dass die konvergent ist.
Nur mit welchem Kriterium kann man das beweisen?

Ist es von Vorteil, wenn man die Reihe irgendwie aufsplittet?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz und Summe einer Reihe
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Versuchs mal mit dem Quotientenkriterium.
Marv89 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke für eure schnellen Antworten!

Habs mal mit dem Quotientenkriterium versucht.


Komme da nicht weiter, diese Fakultäten irritieren mich da geschockt
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Was bedeuten die Fakultäten denn? Kürzen?
Marv89 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich glaube so langsam wird mir was klar...



das könnte man jetzt ja kürzen:


Übertragen auf die Gleichung wäre das ja so:


Also habe ich ein q=2k gefunden. Was genau schließe ich daraus?
2k muss ja kleiner als 1 sein, das wäre aber nur für k<0,5 erfüllt.
 
 
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Marv89
das könnte man jetzt ja kürzen:


Übertragen auf die Gleichung wäre das ja so:


Also habe ich ein q=2k gefunden. Was genau schließe ich daraus?
2k muss ja kleiner als 1 sein, das wäre aber nur für k<0,5 erfüllt.


In diesem Abschnitt hast du gleich zweimal falsch gekürzt.
Rumpfi Auf diesen Beitrag antworten »

Sollte das Quotientenkriterium nicht so lauten?



Den Rest musst jetzt du machen.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Was oben schon angesprochen wurde, sollte man noch fortsetzen:

,

zumindest für . Soviel zur eigentlichen Berechnung des Reihenwertes.
Marv89 Auf diesen Beitrag antworten »

ok stimmt, hab das Quotientenkriterium total falsch angewendet.
Hoffe so is richtig...aber bekomme nach kürzen was anderes raus als Rumpfi!?




Und was genau bringt mir die Berechnung des Reihenwertes?
Lässt sich so ein Grenzwert finden?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Marv89
Hoffe so is richtig...aber bekomme nach kürzen was anderes raus als Rumpfi!?

Erkläre doch mal, welche gleichen Faktoren im Zähler und Nenner du gegeneinander kürzt.
Marv89 Auf diesen Beitrag antworten »

ok hab mich vertan...Rumpfi hat recht.


Aber wie komme ich jetzt weiter? Weiter kürzen geht ja nicht?!
Wäre nett, wenn ihr mir noch einen Tipp geben könntet.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Marv89


Auch diese Umformung ist falsch.

Und wie es weiter geht? Schau dir doch mal das Quotientenkriterium genau an.
Marv89 Auf diesen Beitrag antworten »

ja sry..meinte natürlich

bis dahin schonmal richtig oder?

Das Quotientenkriterium besagt ja, dass man eine Variable z.B. q
finden muss, die kleiner als 1 ist.
Also:


Mit immer größeren k wird das ja erfüllt.
Marv89 Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh... das wäre ja auch schon erfüllt, wenn man egal welche natürliche
Zahl für k einsetzt!

Ist so dann gezeigt, dass die Reihe konvergent ist?

Könnt ihr mir noch einen Tipp zur Berechnung des Grenzwertes geben?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Marv89
Ahh... das wäre ja auch schon erfüllt, wenn man egal welche natürliche
Zahl für k einsetzt!

So, so. Auch k=1 ?

Zitat:
Original von Marv89
Könnt ihr mir noch einen Tipp zur Berechnung des Grenzwertes geben?

Das macht unser Spezialist Arthur Dent sehr gerne. smile
Ich hoffe, er schaut mal hier rein.
Es gab hier aber auch schon Threads mit ähnlichen Fragestellungen. Also stöber einfach mal rum.
Marv89 Auf diesen Beitrag antworten »

ok das stimmt natürlich!

Was genau heißt das jetzt?
Ist die Reihe nun divergent, da es für k=1 nicht erfüllt wird?

k muss ja
kleiner als ~ -0,61
und
größer als ~ 1,61
sein!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Das macht unser Spezialist Arthur Dent sehr gerne. smile

Er hat's sogar hier im Thread schon getan. Aber es ist wie so oft ignoriert worden - und ich singe nicht.
Marv89 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach du meinst diese Bemerkung? Freude
Zitat:
Original von Arthur Dent
,


Aber wie genau lässt sich da heraus der Grenzwert der Reihe bestimmen?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Marv89 Auf diesen Beitrag antworten »

oha! Wenn man sich das so anguckt...ist es ja logisch Augenzwinkern
Vielen Dank! Wäre ich aber nie drauf gekommen.

Noch mal kurz zurück zum Quotientenkriterium.
Für k=1 wird das ja nicht erfüllt. Stellt das jetzt ein Problem dar?
Sollte man eine Bedingung für k dazu schreiben oder ein ganz anderes
Kriterium verwenden?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Marv89
Noch mal kurz zurück zum Quotientenkriterium.
Für k=1 wird das ja nicht erfüllt. Stellt das jetzt ein Problem dar?

Solange es nur endlich viele Ausnahmen sind, ist das kein Problem.
Marv89 Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar vielen Dank!
Die Aufgabe ist mir nun klar geworden.

Danke an alle, die sich an diesem Thread beteiligt haben.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Wort zum Vorgehen in diesem Thread:

Bei konvergenten Reihen, wo man überdies den Reihenwert bestimmen soll, ist eine zusätzlich zur erfolgreichen Reihenwertberechnung stattfindende Konvergenzuntersuchung mittels der üblichen Kriterien in der Regel komplett überflüssig.

Zur Reihenwertberechnung nutzt man ja meist Rechenregeln, die implizit auch Konvergenzkriterien sind, z.B. die der Addition

Zitat:
Sind und konvergent, so ist auch konvergent mít Reihenwert

.

Bei einer Reihenwertberechnung wie oben geht man etwa von der Summenreihe aus, ohne deren Konvergenz schon nachgewiesen zu haben, und zerlegt sie gemäß (*). Was natürlich nur stimmt, wenn die beiden Reihen rechts auch wirklich konvergent sind! Aber eine erfolgreiche Reihenwertberechnung zeichnet eben aus, dass nach mehr oder weniger solchen "auf Kredit" getätigten Zerlegungsschritten am Ende nur als konvergent bekannte Reihen stehen, womit die ganze Rechnung rückwirkend richtig ist - der "Kredit" ist sozusagen abgezahlt.

Wenn auch nicht üblich, weil weniger verständlich, müsste man also das ganze rückwärts aufschreiben, d.h., von anerkannt konvergenten Reihen mit bekannten Wert ausgehend bis hin zur gesuchten Reihe. Für das hiesige Beispiel würde das so aussehen:

.

Da steckt alles drin: Sukzessive Beweise der Konvergenz aller beteiligten Reihen und gleichzeitige Verarbeitung ihres Wertes. Eine zusätzliche Konvergenzbetrachtung mittel Quotientenkriterium o.ä. schadet zwar nicht, ist aber unnötig.
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