Abbildung (Komposition, Surjektivität)

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cloudyxxx Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildung (Komposition, Surjektivität)
Hallo ich habe Probleme bei folgender Aufgabe

Gegeben is folgende Funktion



a) Begründen sie, warum eine Funktion existiert, mit

b) Zeigen sie das eine solche Funktion surjektiv sein muss

c)Finden Sie ein solches g

Ich hab mir überlegt das die Umkehrfunktion von f genau diese Bedingung aus Aufgabe a) erfüllen müsste. Mein Problem is dabei ich weiß net wie ich das für die Aufgabe a) und b) formulieren soll und ich bin mir net ganz sicher wie ich die Umkehrfunktion von f bilden kann.

Danke schonmal für die Hilfe

lg cloud
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Es existiert keine Umkehrfunktion, weil f nicht bijektiv ist. f ist nur injektiv (was Du nachweisen musst), und deswegen existiert mindestens eine Funktion g, welche die Bedingung bei a) erfüllt. Du kannst ja zuerst versuchen, eine solche Funktion zu finden:

Wenn man auf eine beliebige reelle Zahl x zuerst f anwendet und auf den Funktionswert wiederum die Funktion g, dann muss man am Ende immer wieder bei x landen.
cloudyxxx Auf diesen Beitrag antworten »

ja stimmt das mit der Umkehrfkt war schwachsin von mir. nur kann ich mir jetzt schwer ne fkt vorstellen die das erfüllt. Hat jemand ne idee für eine fkt g?

danke schonmal
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Versuche Dir die Funktion f doch als Pfeildiagramm vorzustellen.

Von jedem Element von R geht ein Pfeil zu einem Element von RxR, wobei jedes Element von RxR nur höchstens einmal getroffen wird. Du sollst jetzt umgekehrt von RxR Pfeile nach R setzen, sodass beim Hintereinanderschalten der Ausgangspfeile und der neuen Pfeile jedes Element bei sich selbst landet.

Beispielsweise ordnet f einer Zahl x das Paar y zu. Was muss die Funktion g dem Paar y zuordnen, damit man beim Hintereinanderschalten wieder bei x landet?
cloudyxxx Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke für den tipp

ich hab jetzt mal versucht das anzuwenden und komme dabei auf die Funktion:

stimmt das soweit oder hab ich einen fehler gemacht?

ich hab jetzt noch ein ganz anderes Problem. Ich krieg grad den Injektivitätsbeweis von der Funktion f nicht hin. Ich hab das Problem das ich weiß das f injektiv sein muss aber ich hab keine ahnung wie ich das formulieren soll traurig

danke
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Abbildung g ist richtig. Du hättest sie übrigens gar nicht unbedingt konkret angeben müssen, das wird ja erst bei c) verlangt.

Um die Injektivität nachzuweisen, musst Du zeigen, dass



für alle reellen Zahlen t1, t2 gilt .





Tatsächlich könntest Du die Injektivität auch mit der Existenz Deiner Funktion g nachweisen: Eine solche Funktion existiert nämlich nur dann, wenn f injektiv ist.
 
 
cloudyxxx Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab noch ne frage:

du hast gesagt "f ist nur injektiv (was Du nachweisen musst), und deswegen existiert mindestens eine Funktion g, welche die Bedingung bei a) erfüllt."
ich versteh net wieso es eine Funktion g geben muss die diese bedingung erfüllt, wenn f injektiv ist.

danke nochmal du hast mir sehr sehr geholfen
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Die entscheidende – und einzige wichtige – Eigenschaft Deiner Funktion ist es, dass jedem Funktionswert f(x) wieder das Argument x zugeordnet wird. Sobald diese Eingeschaft gegeben ist, gilt



Und weil bei einer injektiven Funktion f jeder Funktionswert f(x) genau ein zugehöriges Argument x hat, existiert in diesen Fällen auch eine Funktion „g“:



(f geht von A nach B)



Umgekehrt gibt es, wie gesagt, das „g“ nur bei injektiven Funktionen. Denn sobald f(a) = f(b) mit zwei verschiedenen Stellen a und b gilt, ist man ja in einem „Dilemma“: Wenn man bei g dem Funktionswert f(a) = f(b) dem Argument a zuordnet, gilt g(f(b)) = a ungleich b. Wenn man stattdessen b nimmt, gilt g(f(a)) = b ungleich a.

Also



für jeden Funktion g.
cloudyxxx Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die erklärung ich denke ich habs verstanden smile
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