Wurzelziehen bei komplexen Zahlen

09.11.2009, 18:52

Physinetz

Wurzelziehen bei komplexen Zahlen

Hallo zusammen, habe das Problem dass ich die allgemeine "Formel" für das Wurzelziehen nicht wirklich verstehe...

Also für das potenzieren von komplexen Zahlen gilt allgemein:

$\begin{eqnarray*} z_1^{n} = r^{n} * \left(cos * n *\Phi+ i sin* n*\Phi\right) \end{eqnarray*}$

Das ist mir soweit klar....

Nur beim Wurzelziehen komme ich ins schleudern:

$\begin{eqnarray*} w_n=\sqrt[n]{r}*\left[cos \frac{\Phi+2*(n-1)*\pi }{n} +i sin \frac{\Phi+2*(n-1)*\pi }{n}\right] \end{eqnarray*}$

Also vorne mit dem r habe ich kein Problem nur hinten dann:

Wieso füge ich für jede Wurzel immer 2pi hinzu? Ich weiß dass wenn ich einen Winkel habe, zu diesem 2pi hinzuaddiere und von diesem neuen Winkel ich sin oder cos nehme, den gleichen Wert rausbekomme, aber dass will mir hier nicht in den Sinn, wieso man das macht....

,Und warum teilt man denn dann wieder durch n? Das finde ich einfach nicht raus...

Hoffe auf eine ausführliche anschauliche Hilfe, eventuell mit Beispiel, das wäre Super

Vielen Dank

09.11.2009, 19:41

mYthos

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RE: Wurzelziehen bei komplexen Zahlen
Im Prinzip gilt die gleiche Formel, wie die, die in deiner ersten Zeile steht:

Zitat:

Original von Physinetz
...
Also für das potenzieren von komplexen Zahlen gilt allgemein:

$\begin{eqnarray*} z_1^{n} = r^{n} * \left(cos * n *\Phi+ i sin* n*\Phi\right) \end{eqnarray*}$
...

Das Wurzelziehen ist ja nichts anderes als das Potenzieren mit dem Kehrwert des Wurzelexponenten. Das Einzige, was man noch berücksichtigen muss, ist, dass - vor dem Potenzieren - zum Winkel genügend* ganzzahlige Vielfache von $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ (wegen der Periodizität der Sin- bzw. Cos-Funktion) zu addieren sind. Das Ganze ist dann durch n zu teilen.

*so oft, wie der Index (n-1) lautet (-> Kreisteilungsgleichung -> Einheitswurzeln)

Das haben wir allerdings hier im Forum nun wirklich schon oft und oft erklärt. Hast du eigentlich schon mal die Boardsuche bemüht, es gibt gerade in dieser Thematik mehr als genug Beiträge dazu!

mY+

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