G-symmetrische Polynome

09.11.2009, 19:34

Seren

G-symmetrische Polynome

Hallo allerseits,
Ich habe folgende Aufgabe auf meinem derzeitigen Algebra Zettel und weiß nichts damit anzufangen. Hier erstmal die Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ die Gruppe der Permutationen auf der Menge der Unbestimmten $\begin{eqnarray*} \{ X_1\cdots X_n \} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G \subset S_n \end{eqnarray*}$ Untergruppe. Wir sagen, eine Polynom $\begin{eqnarray*} F \in \mathbb{Q}[X_1\cdots X_n] \end{eqnarray*}$ ist G-symmetrisch, wenn $\begin{eqnarray*} F(X_1 \cdots X_n) = F(g(\{X_1\cdots X_n\})) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ gilt.
Sei nun $\begin{eqnarray*} f\in \mathbb{Q}[X] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f = \prod_{i=1}^n (X-\alpha_i) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \alpha_i \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ der kleinste Körper, der $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha_1 \cdots \alpha_n \end{eqnarray*}$ enthält.

Wir definieren:

$\begin{eqnarray*} K^G:= \{ \frac{F_1(\alpha_1 \cdots \alpha_n)}{F_2(\alpha_1 \cdots \alpha_n)}: F_1,F_2 \in\mathbb{Q}[X_1\cdots X_n]\ G-symmetrisch,F_2(\alpha_1 \cdots \alpha_n) \ne 0\} \end{eqnarray*}$

Zeigen sie: $\begin{eqnarray*} K^G \end{eqnarray*}$ ist ein Körper.

Ich weiß nicht, welche Elemente in $\begin{eqnarray*} K^G \end{eqnarray*}$ enthalten sind, sodass ich die Körperaxiome darauf anwenden könnte und außerdem kann ich die G-Symmetrie da nicht einbringen.
Ich hoffe es findet sich jemand, der mir helfen könnte.

Seren

09.11.2009, 20:27

kiste

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Hallo,

die Aufgabe wurde künstlich schwerer gemacht als sie eigentlich ist.
Du kennst doch die Konstruktion von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Da werden gerade "formale Brüche" hinzugefügt.
Dies kann man für jeden Ring R machen, man geht dann über zum Quotientenkörper $\begin{eqnarray*} Q(R) \end{eqnarray*}$ .
Dies hier ist im Prinzip ein Spezialfall davon.
Die G-symmetrie ist auch nicht einzubringen, du musst nur zeigen dass die Addition/Mult. mit Elementen aus K^G eben auch G-symmetrisch sind. Das folgt aber bereits daraus dass die G-symm. Polynome einen Ring bilden

09.11.2009, 20:56

Seren

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Hallo,

erstmal danke für die Antwort. Aber hier kommen weiter Fragen:
1.) Vorausgesetzt ich mache die Konstruktion ähnlich zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}(\mathbb{Q}) \end{eqnarray*}$ , wie zeig ich denn, dass meine komponentenweise Definition von Addition und Multiplikation G-symmetrisch ist. Bei Zahlen ist es ja klar, aber die Gruppe G vertauscht mir ja ( soweit ich das verstanden habe) die Indizes der $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ .. und genau da ist der Knackpunkt: Wie zeige ich, dass sie unter der Wirkung von G invariant bleiben?
2. ) Wie zeige ich, dass die G-symmetrischen Polynome einen Ring bilden? Oder steckt das sogar schon in der Aufgabenstellung?

Seren

09.11.2009, 21:04

kiste

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1.) Die Invarianz des Polynoms gilt doch nach Definition.
Zum Beispiel ist: X_1+X_2+X_3 invariant unter S_3(Das ist ein sog. elementarsymm. Polynom)

2.)Sei ^g die Operation mit g dann ist
$\begin{eqnarray*} (a+b)^g = a^g+b^g = a + b \end{eqnarray*}$
Also ist die Summe auch g-invariant. Die Gleichheit kann man natürlich noch ausschreiben.
Genauso zeigt man abgeschlossen unter der Mult.

09.11.2009, 21:14

Seren

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Der 2. Teil leuchtet mir ein, jedoch habe ich Probleme mit dem hier:

Zitat:

Original von kiste
1.) Die Invarianz des Polynoms gilt doch nach Definition.
Zum Beispiel ist: X_1+X_2+X_3 invariant unter S_3(Das ist ein sog. elementarsymm. Polynom)

Die Invarianz von elementarsymmetrischen Polynomen ist nach Definition klar. Es könnte doch aber trotzdem Polynome geben, die für ein festes G auch unter diesem G invariant bleiben. Wie bestimme ich diese, bzw. gibt es überhaupt solche?

Seren

09.11.2009, 21:26

kiste

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Klar gibt es solche:
X_1X_2 + X_3^3 ist invariant unter der Transposition (12)
oder was meinst du?

09.11.2009, 21:43

Seren

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Und wie bringe ich jetzt alle G-symmetrischen Polynome unter einen Hut? Wähle ich eine willkürliche Untergruppe G und stelle dazu die Polynome zusammen, oder verlangt die Aufgabe sogar, dass G willkürlich sei und ich das für alle Untergruppen G zeige, also nur die elementarsymm. Polynome auch die einzigen G-symmetrischen sind?

Sorry, aber ich stehe grade echt ein bisschen aufm Schlauch, wie ich mit der G-Symmetrie umgehe.

Seren

09.11.2009, 21:52

kiste

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Ganz ehrlich: Ich verstehe dein Problem nicht.
Natürlich kann man die Menge nicht aufschreiben oder was auch immer du damit machen willst, es gibt immerhin unendlich viele G-invariante Polynome.
G ist klarerweise auch willkürlich.

Nimm einfach beliebige Elemente die die Eigenschaft haben G-invariant zu sein. Du musst nicht wissen wie das Polynom dazu aussieht...

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