Impl./Expl. Eulerverfahren DGL

01.10.2006, 22:50

Julia1982

Impl./Expl. Eulerverfahren DGL

Hallo liebe Leute!

Ich stehe vor folgendem Problem: Es ist eine Aufgabe aus einer Klausur, die ich total verrissen habe. Die Theorie hinter der Aufgabe ist nicht das Problem, sondern die Umsetzung ohne Matlab smile

Es geht um die Frage welches Verfahren bei der Approximation an eine Lösung besser geeignet ist.

Die (recht einfache) DGL lautet:

$\begin{eqnarray*} u'=-2u, u(0)=1 \end{eqnarray*}$

a) Geben Sie die exakte Lösung an

Meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} u=e^{-2t} \end{eqnarray*}$

Richtig oder falsch?

b) Berechn. Sie die Approx. der exakten Lsg. mit dem expliziten Eulerverfahren für die Schrittweite $\begin{eqnarray*} h=1 \end{eqnarray*}$ an den Stellen $\begin{eqnarray*} t_{n}=nh, n \in N \end{eqnarray*}$

c) Berechn. Sie die Approx. der exakten Lsg. mit dem impliziten Eulerverfahren

$\begin{eqnarray*} u_{n+1}=u_{n}+hf(t_{n+1},u_{n+1}) \end{eqnarray*}$

für die Schrittweite $\begin{eqnarray*} h=1 \end{eqnarray*}$ an den Stellen $\begin{eqnarray*} t_{n}=nh, n \in N \end{eqnarray*}$

d) Welches Verfahren liefert die bessere Approximation? Begründen Sie Ihre Antwort.

Kann mir jemand weiterhelfen? Ich weiß nicht, wie ich das mit Zettel und Stift berechnen soll...

Vielen Dank schonmal! smile

01.10.2006, 22:59

therisen

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Verschoben

Die a) stimmt, zum Rest kann ich leider nichts sagen.

02.10.2006, 00:23

Abakus

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RE: Impl./Expl. Eulerverfahren DGL
Siehe zunächst hier für die Verfahren:

- Explizites Eulerverfahren

- Implizites Eulerverfahren

Damit solltest du starten können. Poste einfach mal, wieweit du kommst.

Grüße Abakus smile

03.10.2006, 21:38

Julia1982

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RE: Impl./Expl. Eulerverfahren DGL
Danke, aber die Artikel habe ich natürlich schon gelesen.

Ich habe nun für das explizite Verfahren folgendes berechnet:

Für
$\begin{eqnarray*} n=0 , u_{n+1}=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n=1 , u_{n+1}=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n=2 , u_{n+1}=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n=3 , u_{n+1}=1 \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt?
Dieses macht für mich bei der Lösung $\begin{eqnarray*} e^{-2t} \end{eqnarray*}$ jedenfalls Sinn, oder?

Leider komme ich mit dem impliziten Verfahren nicht weiter. Aus div. Literatur habe ich folgendes entnommen: Mann berechnet das so:
$\begin{eqnarray*} u_{n+1} = u_{n} + h * f (t_{n+1},u_{n}+h*f(t_{n},u_{n})) \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

Jetzt weiß ich nicht welche Werte ich benutzen soll. Die aus dem expl. Verfahren? Ich bekomme da nur Quatsch raus. Kann da jemand mal $\begin{eqnarray*} u_{0},u_{1}, u_{2} \end{eqnarray*}$ Beispielhaft rechnen?

Für eine schnelle Antwort bin ich sehr dankbar smile

Gruß,
Julia

04.10.2006, 11:05

Abakus

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RE: Impl./Expl. Eulerverfahren DGL

Zitat:

Original von Julia1982
Danke, aber die Artikel habe ich natürlich schon gelesen.

Ich habe nun für das explizite Verfahren folgendes berechnet:

Für
$\begin{eqnarray*} n=0 , u_{n+1}=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n=1 , u_{n+1}=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n=2 , u_{n+1}=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n=3 , u_{n+1}=1 \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt?
Dieses macht für mich bei der Lösung $\begin{eqnarray*} e^{-2t} \end{eqnarray*}$ jedenfalls Sinn, oder?

Ja, habe ich auch. Als gute Approximation möchte ich das aber nicht bezeichnen.

Zitat:

Leider komme ich mit dem impliziten Verfahren nicht weiter. Aus div. Literatur habe ich folgendes entnommen: Mann berechnet das so:
$\begin{eqnarray*} u_{n+1} = u_{n} + h * f (t_{n+1},u_{n}+h*f(t_{n},u_{n})) \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

Jetzt weiß ich nicht welche Werte ich benutzen soll. Die aus dem expl. Verfahren? Ich bekomme da nur Quatsch raus. Kann da jemand mal $\begin{eqnarray*} u_{0},u_{1}, u_{2} \end{eqnarray*}$ Beispielhaft rechnen?

Nach der Verfahrensvorschrift hingeschrieben (ich hab die Wiki-Formel genommen, die steht unter c) bei dir auch so):

$\begin{eqnarray*} u_0 = u(0) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u_{k+1} = u_k + h \cdot f(t_{k+1}, u_{k+1}) = u_k + f(k+1, u_{k+1}) = u_k - 2 \cdot u_{k+1} \end{eqnarray*}$

Demnach: $\begin{eqnarray*} u_{k+1} = \frac{u_k}{3} \end{eqnarray*}$

und daher: $\begin{eqnarray*} u_1 = \frac{1}{3}, ... \end{eqnarray*}$

Schwieriger dürfte die Auflösung werden, wenn die rechte Seite der DGL auch von t abhängig ist.

Grüße Abakus smile

08.10.2006, 11:37

Julia1982

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RE: Impl./Expl. Eulerverfahren DGL
Super Tanzen

!

Vielen lieben Dank! Das war ja doch einfacher als gedacht! Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht Hammer

!

Danke nochmal und viele Grüße Wink

,
Julia

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