Lösen Gleichungssystem (Lagrange-Methode)

09.11.2009, 20:28	FUO6	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösen Gleichungssystem (Lagrange-Methode) Hallo! Hab ein kleineres Problem mit dem Lösen eines Gleichungssystems. Das Beispiel lautet: Bestimmen Sie die Extremwerte der Funktion $\begin{eqnarray} f(x,y,z) = 20 + 2x + 2y + z² \end{eqnarray}$ unter den Bedingungen: $\begin{eqnarray} x² + y² + z² = 11 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x + y + z =3 \end{eqnarray}$ Also die Lagrange-Funktion hab ich so: $\begin{eqnarray} L(x,y,z,\lambda_1,\lambda_2)=20 + 2x + 2y + z² + \lambda_1(11- x² - y² - z²) + \lambda_2(3-x-y-z) \end{eqnarray}$ Dann partiell abgeleitet: $\begin{eqnarray} L_x=2-2x\lambda_1-\lambda_2=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L_y=2-2y\lambda_1-\lambda_2=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L_z=2z-2z\lambda_1-\lambda_2=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L_\lambda1=x² + y² + z² = 11 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L_\lambda2=x + y + z =3 \end{eqnarray}$ Jetzt weiß ich nicht, wie ich am besten beginnen soll? Nach meinen Überlegungen ist hier $\begin{eqnarray} x=y \end{eqnarray}$ , bin mir aber nicht sicher. Und falls das stimmt, weiß ich danach nicht wie ich am besten weitermache. Danke schon mal für die Hilfe.
09.11.2009, 21:15	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus den ersten drei Gleichungen eliminiere die beiden Lambdas's. Dann ergibt sich tatsächlich $\begin{eqnarray} -x + y = 0 \end{eqnarray}$ Mit den restlichen beiden (lambda-freien) Gleichungen folgen x, y, z mY+ Tipp: Setze x = y und z = 3 - 2y in die quadratische Gleichung ein, es ergibt sich eine in y quadratische Gleichung.
13.12.2009, 15:14	FUO6	Auf diesen Beitrag antworten »
Spät, aber doch: Dankesehr! Bekomme jetzt die Lösung für die Maxima heraus. Laut Lösung soll es aber auch noch Minima bei (3,-1,1) und (-1,3,1) geben. Wie erhalte ich diese? Meine Vermutung ist, dass ich jetzt eine Fallunterscheidung machen muss, indem ich $\begin{eqnarray} \lambda_1=0 \end{eqnarray}$ setze, dann erhalte ich durch einsetzen in die 1. Ableitung, dass $\begin{eqnarray} \lambda_2=2 \end{eqnarray}$ sein muss. Aber wie gehe ich nun weiter vor oder ist mein Ansatz schon komplett daneben? Danke, FUO6
13.12.2009, 16:45	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, mYthos lag da ausnahmsweise falsch... Indem man die erste Gleichung von der zweiten abzieht kommt man direkt auf $\begin{eqnarray} \lambda_1(y-x)=0 \end{eqnarray}$ d.h., die Fallunterscheidung 1.Fall: $\begin{eqnarray} \lambda_1=0 \end{eqnarray}$ 2. Fall: $\begin{eqnarray} x=y \end{eqnarray}$ Edit: Ist übrigens ein sehr nettes Beispiel für folgenden Sachverhalt: Obwohl alle Bedingungen symmetrisch in x und y sind, muss nicht notwendigerweise x=y in den Lösungen gelten... Wohl aber muss die Gesamtheit der Lösungen natürlich invariant gegenüber Vertauschungen von x und y sein...

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