arcsin(f(x))=arctan(x)

09.11.2009, 21:06

TB

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arcsin(f(x))=arctan(x)

Ja, im Titel steht schon mein Problem.
Ich soll f(x) so wählen, dass die Gleichung erfüllt ist:
arcsin(f(x))=arctan(x)

was ich mir gedacht habe:
tan=sin/cos
arcsin(1/cos)=arctan

aber ich denke mal, dass darf ich hier nicht anwenden...bzw ich weiß nich, wie ich plausibel erkären soll warum es so ist, außer... arc(sin(f(x)))=arc(sin(x)/cos(x)) ...

09.11.2009, 21:12

AD

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Tipp: $\begin{eqnarray*} \sin(x) = \frac{\tan(x)}{\sqrt{1+\tan^2(x)}} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ .

09.11.2009, 21:21

TB

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sorry. ich glaub ich bin an den schlauch festgenagelt und komm nicht mehr runter ...
ist den das arc ein Rechenbefehl an sich?
sprich

sin(a)=cos(b) |arc()
arcsin(a)=arccos(b)

?

jedoch hat mir dein tipp leider überhaupt nich weiter geholfen ...

09.11.2009, 21:32

AD

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arcsin(x) ist eine eigenständige Funktion, die nichts, aber auch gar nichts mit einer Hintereinanderausführung arc(sin(x)) zu tun hat. unglücklich

unglücklich

Auf Ideen kommen die Leute...

09.11.2009, 21:42

TB

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ja das hab ich mir ja shcon gedacht. ich war ja nicht der meinung dass das stimmt...
der punk tist jetz nur, ich habe mit deinem tipp leider keinen ansatz gefunden, weier zu kommen, um das f(x) bestimmen zu könnne.

würde ich diese gleichung einsetzen für f(x) würde links x stehen , oder nicht?
weil arcsin(sin(x)) = x
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)°f(x)=x \end{eqnarray*}$

09.11.2009, 21:45

AD

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Unter $\begin{eqnarray*} \arcsin \end{eqnarray*}$ versteht man die Umkehrfunktion von

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sin(x),\quad -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ .

Insbesondere gilt dann also

$\begin{eqnarray*} \sin(\arcsin(t)) = t \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} -1 \leq t \leq 1 \end{eqnarray*}$ ,

und genau das solltest du hier anwenden.

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09.11.2009, 22:00

TB

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ja also die formel vonn dir ist für mich ein wenig weit hergeholt...ich weiß jetz auch konkret nicht, wo ich es einzusetzen hätte...

$\begin{eqnarray*} arcsin(\frac{tan(x)}{\sqrt{1+tan^2(x)}})=arctan(x) \end{eqnarray*}$
ich glaub ich arbeite mit den grenzen nicht vernünftig ...

alos ich weiß, der Wertebereich von dem f(x) was gesucht ist, muss sein
$\begin{eqnarray*} W=-1<x<1 \end{eqnarray*}$

aber was damit anfangen kann ich halt noch nicht wirklich ..

09.11.2009, 22:06

AD

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Du setzt alle Puzzlestücke mit einer atemberaubenden Technik so zusammen, dass sie überhaupt nicht passen - das muss einem erstmal gelingen. unglücklich

unglücklich

Aus $\begin{eqnarray*} \arcsin(f(x)) = \arctan(x) \end{eqnarray*}$ folgt durch Anwendung des Sinus:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sin(\arctan(x)) = \frac{\tan(\arctan(x))}{\sqrt{1+\tan^2(\arctan(x))}} \end{eqnarray*}$ ,

was sich dann noch weiter vereinfachen lässt - wie wohl???

09.11.2009, 22:15

TB

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ach so war das gedacht...
ich sollte links quasi die umkehr funktion hinkriegen!

aber links steht immer noch arcsin(f(x)) und nich arcsin(x) ...

$\begin{eqnarray*} sin(arcsin(f(x))=\frac{tan(arctan(x))}{\sqrt{1+tan^2(arctan)}}<br /> f(x)=\frac{tan(x)}{\sqrt{1+x^2}}<br /> \end{eqnarray*}$

ich überleg jetz obb man noch in der klammer irwie cos^2+sin^2=1 anwenden soll oder ähnliches....bin mir selber aber ziemlich unsicher was genau...ansonst würd ichs so stehen lassen.

09.11.2009, 22:30

AD

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Zitat:

Original von TB
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{tan(x)}{\sqrt{1+x^2}} \end{eqnarray*}$

Und die nächste Unkonzentriertheit. Richtig ist

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \end{eqnarray*}$ .

09.11.2009, 22:41

TB

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ja sorry...
im editor sieht man das gar nich so richtig ...
nungut, war ja nur ne kleine unkonzentriertheit, richtig erkannt, schließlich habe ich weiter oben schon bewiesen, dass ich weiß dass sich die umkehrfunktion und die urfunktion aufheben ^^

ok dann ist das wohl schon vereinfacht.
nächster punkt, woher nimmst du diese formel und was ist wenn ich nicht weiß, dass es diese Formel gibt ?
prinzipiell kann ich nur die Basics von all dem ...

10.11.2009, 17:46

Mistmatz

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Im Folgenden soll gelten: $\begin{eqnarray*} \varphi\ne\left(2k+1\right)\cdot\frac{\pi}{2}\big|k\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sin^2{\varphi}+\cos^2{\varphi}=1 \end{eqnarray*}$

Beide Seiten dividiert durch $\begin{eqnarray*} \cos^2{\varphi} \end{eqnarray*}$ ergibt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin^2{\varphi}}{\cos^2{\varphi}}+\frac{\cos^2{\varphi}}{\cos^2{\varphi}}=\tan^2{\varphi}+1=\frac{1}{\cos^2{\varphi}} \end{eqnarray*}$

Auflösen nach Kosinus:
$\begin{eqnarray*} \cos{\varphi}=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2{\varphi}}} \end{eqnarray*}$

Es gilt:
$\begin{eqnarray*} \tan{\varphi}=\frac{\sin{\varphi}}{\cos{\varphi}}\Leftrightarrow\cos{\varphi}=\frac{\sin{\varphi}}{\tan{\varphi}} \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in obige Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \sin{\varphi}=\frac{\tan{\varphi}}{\sqrt{1+\tan^2{\varphi}}} \end{eqnarray*}$

Auf diese und ähnliche Art und Weise entstehen sehr viele Beziehungen zwischen den einzelnen Winkelfunktionen:

$\begin{eqnarray*} \sin{\varphi}=\sqrt{1-\cos{\varphi}}=\frac{\tan{\varphi}}{\sqrt{1+\tan^2{\varphi}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\cot^2{\varphi}}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \cos{\varphi}=\sqrt{1-\sin{\varphi}}=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2{\varphi}}}=\frac{\cot{\varphi}}{\sqrt{1+\cot^2{\varphi}}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tan{\varphi}=\frac{\sin{\varphi}}{\sqrt{1-\sin^2{\varphi}}}=\frac{\sqrt{1-\cos^2{\varphi}}}{\cos{\varphi}}=\frac{1}{\cot{\varphi}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \cot{\varphi}=\frac{\sqrt{1-\sin^2{\varphi}}}{\sin{\varphi}}=\frac{\cos{\varphi}}{\sqrt{1-\cos^2{\varphi}}}=\frac{1}{\tan{\varphi}} \end{eqnarray*}$

10.11.2009, 20:35

TB

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cool ....
echt cool ....
bin mal gespannt was der prof dazu sagt, wenn ich diese herleitung ins aufgabenblatt reinmache ._.
ich glaub nämlich nicht, dass wir das darüber machen sollen, aber seis drum ._.

ich hab mich hingesetzt und hab mir mühe gegeben, etwas herauszufinden und dank eurer hilfe bin ich auf etwas gestoßen smile

smile

10.11.2009, 20:58

AD

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Zitat:

Original von Mistmatz
$\begin{eqnarray*} \frac{\sin^2{\varphi}}{\cos^2{\varphi}}+\frac{\cos^2{\varphi}}{\cos^2{\varphi}}=\tan^2{\varphi}+1=\frac{1}{\cos^2{\varphi}} \end{eqnarray*}$

Auflösen nach Kosinus:
$\begin{eqnarray*} \cos{\varphi}=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2{\varphi}}} \end{eqnarray*}$

Das Wurzelziehen ist angesichts der Vorzeichenfrage eine heikle Angelegenheit. Aber zumindest für $\begin{eqnarray*} -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ stimmt das hier mit dem positiven Vorzeichen, und das ist alles, was man für diese Aufgabe hier braucht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ansonsten gilt aber zunächst mal nur

$\begin{eqnarray*} \left| \cos{\varphi} \right| = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2{\varphi}}} \end{eqnarray*}$ .

15.11.2009, 19:28

Mistmatz

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Das hab ich ja ganz übersehen Ups

Ups

Genau genommen gilt für meine Gleichungen weiter oben beim Sinus und beim Kosinus nur $\begin{eqnarray*} \varphi\in\left]0;\frac{\pi}{2}\right[ \end{eqnarray*}$ , da ich ja die Umformung zum Kotangens auch noch angegeben hab.
Aber vom Sinus zum Tangens reicht das von Arthur Dent korrigierte Intervall smile

smile

10.05.2011, 21:48

Arcsine Law

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Ich habe diesen Thread hier durchgelesen und verstanden, doch wo ist dann in den folgenden Umformungen für $\begin{eqnarray*} -\frac\pi2<x<\frac\pi2 \end{eqnarray*}$ der Fehler?
$\begin{eqnarray*} \arcsin x=f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\sin f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac x{\cos f(x)}=\tan f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac x{\sqrt{1-\sin^2 f(x)}}=\tan f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=\arcsin x \end{eqnarray*}$ auf der linken Seite einsetzen: $\begin{eqnarray*} \frac x{\sqrt{1-x^2}}=\tan f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \arctan\left(\frac x{\sqrt{1-x^2}}\right)=f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \arctan\left(\frac x{\sqrt{1-x^2}}\right)=\arcsin x \end{eqnarray*}$ (Man beachte das Minus-Zeichen, das doch eigentlich ein Plus sein müsste?)

Schonmal vielen Dank fürs Durchlesen.

10.05.2011, 21:59

Arcsine Law

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Hmm, vergesst es, ich sollte vielleicht einfach mal die Gleichung $\begin{eqnarray*} \frac x{\sqrt{1-x^2}}=y \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ umstellen... Hat sich also erledigt ;-)

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