abelsche Gruppen

09.11.2009, 21:26

Molson

abelsche Gruppen

Hallo,

ich habe eine Frage zu abelschen Gruppen und zwar hab ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} \left(\left[ 0,\infty \right),*\right) a*b := \sqrt[3]{a³+b³} \end{eqnarray*}$

ich weiß wie man beweist ob eine Gruppe eine abelsche ist, aber ich weiß nicht was ich mit dem Ausdruck anfangen soll.

Hoffentlich könnt ihr mir helfen.

Danke und Gruß
Molson

09.11.2009, 21:27

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja rechne einfach mal $\begin{eqnarray*} a*b \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} b*a \end{eqnarray*}$ aus und benutze die Kommutativität in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

09.11.2009, 21:29

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Gegeben ist die Gruppe auf den nichtnegativen reellen Zahlen mit der Verknüpfung

$\begin{eqnarray*} \ast\colon\, (a, b) \longmapsto \sqrt[3]{a^3 + b^3} \end{eqnarray*}$

Also z. B.

$\begin{eqnarray*} 1 \ast 3 = \sqrt[3]{1^3 + 3^3} = \sqrt[3]{28} \end{eqnarray*}$

09.11.2009, 21:40

Molson

Auf diesen Beitrag antworten »

ja das versteh ich schon, aber wie beweiße ich die 4 Axiome???
Ist mir nicht ganz klar.

09.11.2009, 21:48

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Oben hast Du noch gesagt, die Axiome wären kein Problem, Du wüsstest nur nichts mit dem Ausdruck anzufangen. Jetzt ist es also umgekehrt, OK. Augenzwinkern

Die Assoziativität musst Du einfach durch nachrechnen beweisen:

$\begin{eqnarray*} (a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c) \end{eqnarray*}$

Das neutrale Element kannst Du „erraten“:

Was muss man für x einsetzen, sodass

$\begin{eqnarray*} a \ast x = \sqrt[3]{a^3 + x^3} = a \end{eqnarray*}$

?

09.11.2009, 21:58

Molson

Auf diesen Beitrag antworten »

ja schon, ich weiß nur nicht wo in in diesen Ausdruck das c packen sollen.

Das neutrale Element ist zu einem 1 und 0 oder?

09.11.2009, 22:03

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Molson

ja schon, ich weiß nur nicht wo in in diesen Ausdruck das c packen sollen.

Berechne die Ergebnisse schrittweise, indem Du die eingeklammerten Terme zuerst als feste Einheiten auffasst:

$\begin{eqnarray*} (a \ast b) \ast c = \sqrt[3]{(a \ast b)^3 + c^3} \end{eqnarray*}$

Dann musst Du ja nur noch a * b ersetzen.

Bei a*(b*c) genauso.

Zitat:

Original von Molson

Das neutrale Element ist zu einem 1 und 0 oder?

Es gibt immer nur ein neutrales Element. Ob es 1 oder 0 ist, kannst Du ja durch eine Probe herausfinden:

$\begin{eqnarray*} a \ast 1 = \sqrt[3]{a^3 + 1^3} = \sqrt[3]{a^3 + 1} \neq a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \ast 0 = \sqrt[3]{a^3 + 0^3} = \sqrt[3]{a^3} = a \end{eqnarray*}$

09.11.2009, 22:08

Molson

Auf diesen Beitrag antworten »

ehrlich gesagt stört mich das gleichheitszeichen zweichen dem produkt und der wurzel, damit komme ich nicht ganz klar was das soll.

in einer multiplikation kann doch 0 kein neutrales element sein.

09.11.2009, 22:13

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast Du die Definition oben wirklich verstanden? Die Verknüpfung * ist nicht die „normale“ Multiplikation von reellen Zahlen, sondern eine neu definierte Rechenoperation.

Man definiert eine Verknüpfung * durch

$\begin{eqnarray*} a \ast b := \sqrt[3]{a^3 + b^3} \end{eqnarray*}$

Siehe auch das Beispiel oben:

$\begin{eqnarray*} 1 \ast 3 = \sqrt[3]{1^3 + 3^3} = \sqrt[3]{28} \end{eqnarray*}$

Bei der „normalen“ Multiplikation ist 0 nicht das neutrale Element, aber bei dieser Verknüpfung schon – wie ja oben bewiesen.

09.11.2009, 22:18

Molson

Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, jetzt habs ich geblickt hatte grad einen hänger. :-)

Assoziativ:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{\left(a+b \right)³+c³} = \sqrt[3]{a³ + \left(b+c \right)³} \end{eqnarray*}$

das muss ich beweisen, oder?

09.11.2009, 22:22

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz:

$\begin{eqnarray*} (a \ast b) \ast c = \sqrt[3]{(a \ast b)^3 + c^3} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{a^3 + b^3}^3 + c^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \ast (b \ast c) = \sqrt[3]{a^3 + (b \ast c)^3} = \sqrt[3]{a^3 + \sqrt[3]{b^3 + c^3}^3} \end{eqnarray*}$

09.11.2009, 22:28

Molson

Auf diesen Beitrag antworten »

ok jetzt hab ich es verstanden.

nur bekomme ich raus, dass die Gruppe nicht assoziativ ist.

Stimmt das????

09.11.2009, 22:32

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nicht richtig, denn die Terme sind wirklich gleich.

Du musst beachten, dass

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{x}^3 = x \end{eqnarray*}$

Also durch das ³ fällt die innere Wurzel weg.

(Wenn die Verknüpfung nicht assoziativ wäre, dann wäre die Struktur übrigens keine Gruppe, weil Assoziativität ja bei der Definition von Gruppen verlangt wird)

09.11.2009, 22:35

Molson

Auf diesen Beitrag antworten »

sorry hab ich nicht gesehen, aber jetzt hab ich es.

Danke!!!

09.11.2009, 22:38

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Molson

sorry hab ich nicht gesehen, aber jetzt hab ich es.

Super.

Neue Frage »

Antworten »

abelsche Gruppen

Verwandte Themen