Einfachste Differentialgleichung - Ansatzproblem

10.11.2009, 08:50	NewMath11	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfachste Differentialgleichung - Ansatzproblem Hi! Bein ein Einsteiger bei den Differentialgleichungen, habe bisher nur einen kurzen theor. Hintegrund und stehe bei der folgenden Aufgabe vor dem Lösungsproblem? Die Elastizität einer Nachfragefunktion in Bezug auf den Preis lautet: E (Elastiztiät) (p) = a - bp Wie lautet die Nachfragefunktion? (Antwort: $\begin{eqnarray} N(p) = cp^{a}e^{-bp} \end{eqnarray}$ Ich weiß nicht wie ich hier umformen soll, um hier eine Formel anzuwenden bzw. welche. Danke im Voraus vielmals für eure Hilfe und Antwort. Mfg V.
10.11.2009, 11:57	Mario	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einfachste Differentialgleichung - Ansatzproblem Hallo, man muss zunächst die Elastizität durch N und p ausdrücken, also E(p) = dN/dp * p/N. Nun hat man eine Differentialgleichung für N(p), die man mittels Trennung der Variablen lösen kann. Die Lösung ist die in der Antwort gegebene. Lg Mario
10.11.2009, 13:35	NewMath11	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einfachste Differentialgleichung - Ansatzproblem Und wie funktioniert die Vorgehensweise? Ich komm mit der rein theor. Erläuterung aus dem Buch nicht weiter! Danke!
10.11.2009, 14:28	Mario	Auf diesen Beitrag antworten »
Man sortiert formal (und nur formal) die N's und p's auf je eine Seite: 1/N dN = (a/p - b) dp Berechnet man nun auf beiden Seiten die unbestimmten Integrale, so erhält man ln N = a ln p - b p + c_1. (überlege bitte, warum eine Konstante reicht). Jetzt muss man nach nur noch nach N umstellen - das würde ich gerne Dir überlassen. Ggf. kannst Du ja nochmal einen ausführlich formulierten Rechenweg hierher stellen - darüber können wir dann auch bei Bedarf weiter diskutieren. Lg Mario
10.11.2009, 14:54	NewMath11	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einfachste Differentialgleichung - Ansatzproblem ln N - aln p = -bp + c ln ( N/(p^a) = -bp + c e^ln ( N/(p^a) = e^(-bp + c) ( N/(p^a) = e^(-bp + c) N = p^ae^(-b*p + c) Das wäre mein Rechenweg, aber der scheint nicht korrekt zu sein. Danke für die Antwort!
10.11.2009, 16:06	Mario	Auf diesen Beitrag antworten »
Das passt schon recht gut, wenn Du lieber mit Logarithen- als mit Potenzgesetzen arbeitet. Nun kann man noch e^c rechts herausziehen und als neue Konstante auffassen - fertig. Lg Mario
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10.11.2009, 17:11	New Math11	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich c herausziehe, hab ich e^c in der Lösung ist aber c angegeben? V.
10.11.2009, 17:38	Mario	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aber jede (nichtnegative) Konstante C lässt sich als e^D für geeignetes D auffassen und umgekehrt. Insofern steht wirklich das gleiche da - es handelt sich ja nur um die Struktur der allgemeinen Lösung. Aufpassen sollte man in der Tat mit dem Vorzeichen von C, aber da hilft wahrscheinlich schon die Herkunft des Problems (Nachfragefunktionen sind immer nichtnegativ, oder? ).

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