Zentralisator bestimmen

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lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
Zentralisator bestimmen
ich möchte gerne die frage folgenden threads noch mal aufwerfern zentralisator,
ob es ein verfahren gibt, den Zentralisator zu bestimmen oder ob man da durchtesten muss.
ich habe die Matrizengruppe der invertierbaren Matrizen und soll den Zentralisator für
bestimmen, ausser durchprobieren fällt mir da nicht so viel ein, aber das sind halt echt viele elemente.....
schon mal danke für die Hilfe
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zentralisator bestimmen
sorry, ich meinte den thread hier
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zentralisator bestimmen
hat sich erledigt, wie doof von mir, hab irgendwie nicht gesehen, wie einfach das eigentlich ist......
ballu Auf diesen Beitrag antworten »

hallo ligrizu,
ich sitze gerade auch an dieser aufgabenbenstellung, habe allerdings noch nicht den durchblick. wäre dir sehr dankbar, wenn du mir weiterhelfen könntest.
vielen dank schon mal im voraus
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

also, ich hab das folgendermassen gelöst, zentralisator ist die Menge aller kommutativen elemente, also alle Matrizen A für die AM=MA gilt.
jetzt einfach matrizenprodukt bilden, ausmultiplizieren, was kommt raus?
ballu Auf diesen Beitrag antworten »

hi, also wenn ich das richtig verstanden habe, suche ich jetzt ein A mit dem dann gilt AM=MA? ich habe für A jetzt einfachmal die einheitsmatrix gewählt und dann das produkt von AM und MA ausgerechnet und es ist gleich smile .
bin ich dann jetzt mit der aufgabe fertig? man kann ja bestimmt mehrer A`s aufstellen mit dem die kommutativität für AM = MA gilt verwirrt . vielen dank nochmal dass du mir weiterhilfst.
 
 
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

klar, für die einheitsmatrix gilt das immer, aber zentralisator ist eine Menge, und die besteht in diesem Fall aus mehr Elementen als der Einheitsmatrix.
nim eine Matrix A,
und bilde das Produkt für AM und MA, wie muss A aussehen, damit das gleich ist?
ballu Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
wenn ich es richtig verstanden habe, multipliziere ich erst AM und dann MA.
für AM habe ich folgendes raus:
-a2 a1
-b2 b1

und für MA:

b1 b2
-a1 -a2

dann erhalte ich eine matrix, nachdem ich es gleichgesetzt habe:

a1 -a2
a2 a1

mit dieser matrix kann ich M immer multiplizieren, so das das ergebnis immer AM= MA ist.
ist das richtig?

jetzt habe ich noch eine frage. da du wahrscheinlich an der gleichen hausaufgabe sitzt wie ich, könntest du mir bei aufgabe 1 b noch einmal vielleicht weiterhelfen?

ich weiß zwar was transitiv operiert heißt, aber ich weiß nicht wie ich dieses zeigen soll.
also wenn a(x)=y gilt ist es transitiv operiert.
heißt das jetzt, das die matrix:

a b
c d mein a aus der obrigen def. ist? und ich jetzt nur überprüfen muss wann die sachen nach dem = herauskommen verwirrt ?
vielen dank schon einmal im voraus
ballu
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

das ist richtig, also alle matrizen der Form ;
und das ist doch die gruppe der orthogonalen Matrizen.
also ist der zentralisator die Gruppe O(2,R).
ich weiss nicht, eröffne für die nächste Aufgabe mal nen neuen thread, wird glaub ich nicht ganz so gerne gesehen, mehrere aufgaben, die nichts miteinander zu tun haben in dem gleichen thread zu veröffentlichen.
aber als hinweis, man muss eigentlich nur die definition einer transitiven operation benutzen.
Pat. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ballu

dann erhalte ich eine matrix, nachdem ich es gleichgesetzt habe:

a1 -a2
a2 a1

mit dieser matrix kann ich M immer multiplizieren, so das das ergebnis immer AM= MA ist.

ballu


Hey, könnt ihr mir bitte bei diesem Schritt helfen. Ich verstehe schon, wie ihr auf MA und AM kommt, aber wie erhält man die Matrix

a1 -a2
a2 a1

Wie/was hast du gleichgesetzt? Könnt ihr mir diesen Schritt erklären?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Der Beitrag ist schon fast zwei Jahre alt.....

Wir berechnen die Produkte AM und MA, diese werden dann gleich gesetzt.
Pat. Auf diesen Beitrag antworten »

Also wie ihr auf AM und MA kommt verstehe ich. Dann gleichsetzten:

AM = MA

-a2 a1
-b2 b1

=

b1 b2
-a1 -a2

Aber wie funktioniert das, dass man dann die folgende Matrix erhält? Diese ist ja dann auch das Ergebnis, aber ich verstehe nicht wie ihr aus AM = MA auf

a1 -a2
a2 a1

kommt... Könnt ihr mir das erklären?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Sei , dann ist

und .

Nun setzen wir AM=MA und vergleichen die Einträge.
Pat. Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich sagte ja, dass ich es verstehe, wie man auf AM und MA kommt, aber der letzte Schritt, also

"Nun setzen wir AM=MA und vergleichen die Einträge."

ist mir unklar. Kann man den nicht erklären? Danke.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Pat. Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schonmal soweit. Nun noch eine letzte Frage. Wie bekommt man aus diesem Vergleich dann den Zentralisator, um welchen es ja letztendlich in diesem Beispiel geht?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Wir setzen das in die Matrix A ein.
Pat. Auf diesen Beitrag antworten »

Sei B:=
a b
c -a

und M:=
1 0
0 -1

dann ist BM:=
a -b
c a

und MB:=
a b
-c a

Dann gleichsetzen und vergleichen, also
a = a
b = -b
c = -c

und in B einsetzen.

Dann sollte der Zentralisator
a -b
-c a
heißen,

aber M*Zentralisator ist nicht gleich Zentralisator*M. Wo ist der Fehler?? Findest du ihn?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Warum stehen auf der Hauptdiagonalen von deinem B denn a und -a ?

Ist doch nicht gesagt, dass die Matrix diese Gestalt hat.

Dazu hab ich dir schon alles vorgemacht, du musst das nur noch nachvollziehen.
Pat. Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, das ist gegeben. Die Summe der Diagonalelemente soll Null ergeben. Entschuldigung, das habe ich vergessen dazuzuschreiben.
Ich habe es doch so gemacht, wie du es vorgeschlagen hast, oda etwa nicht?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Dann poste doch einmal die Aufgabe, die du bearbeiten sollst.....
Pat. Auf diesen Beitrag antworten »

Es seien K ein Körper und V := { A ∈ K ² x ² | A11 + A22 = 0 }.
Berechnen Sie Z(M) := { B ∈ V | MB = BM }, wobei M eine der folgenden Matrizen ist:
0 0
1 0

oder

1 0
0 -1.

Habe leider keinen Scanner. Ich hoffe, es geht so auch.
Danke für die Bemühung jedenfalls. :-)
Pat. Auf diesen Beitrag antworten »

∈

das soll Element von heißen, sorry.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist unleserlich, ich rate einmal:

Sei K ein Körper, .

Berechnen sie , right soweit?

Du kannst beim nächsten Mal auch gerne unseren Formeleditor verwenden. Augenzwinkern

Deine Lösung
a = a
b = -b
c = -c

Ist richtig, wenn b=-b ist, welchen Wert muss b dann haben?

Gleiche Frage für c.

Was ist also dein Zentarlisator?
Pat. Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, Formeleditor wär nützlich gewesen, ja - danke ;-)

Ähm, ich dachte, dass man die einzelnen Matrizeneinträge so miteinander vergleichen darf und dann in B einsetzt. Also doch nicht so leicht vergleichen? Ich glaub ich sitz auf der Leitung... :-(
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Na, gilt denn zum Beispiel für b=3 die Gleichung b=-b?

Du darfst so vergleichen, aber die Schlüsse, die man daraus zieht sollten schon stimmen.

Edit: Ausserdem wissen wir doch schon, dass es sich bei dem Zentralisator um die orthogonalen Matrizen handelt.
Pat. Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaub ich hab eine Idee. Kann der Zentralisator
a 0
0 a
sein?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, welche Gruppe hat diese Gestalt?
Pat. Auf diesen Beitrag antworten »

z.B. alle invertierbaren Matrizen, oder?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Für a=0 ist die Matrix sicherlich nicht invertierbar....

Und nicht alle invertierbaren Matrizen haben obige Gestalt, also neuer Versuch....
Pat. Auf diesen Beitrag antworten »

Diagonalmatrizen... aber für a = 0 ist es ja wieder keine Diagonalmatrix mehr...
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Warum ist denn die Nullmatrix keine Diagonalmatrix? verwirrt
Pat. Auf diesen Beitrag antworten »

Also stimmt die Menge aller Diagonalmatrizen?
Pat. Auf diesen Beitrag antworten »

Super!!! Danke tausendmal!!!!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pat.
Also stimmt die Menge aller Diagonalmatrizen?



Mit einer Einschränkung, die Diagonalelemente müssen gleich sein.
Pat. Auf diesen Beitrag antworten »

Jup, genau, super, danke! :-)
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
Zitat:
Original von Pat.
Also stimmt die Menge aller Diagonalmatrizen?


Mit einer Einschränkung, die Diagonalelemente müssen gleich sein.

Mit einer weiteren Einschränkung: Die Charakteristik des Körpers darf nicht 2 sein, ansonsten ist der Zentralisator viel größer... Augenzwinkern
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