Charakteristische Funktion

10.11.2009, 11:03

S_A_S

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Charakteristische Funktion

Hi,
ich habe folgende Aufgabe gegeben:
http://img510.imageshack.us/img510/3185/aufg4.png die ich leider nicht aptippen kann.

Irgendwie steig ich schon beim Beweis der Bijektivität aus. hat einer Tipps wie man da am besten vorgehen kann um zur Lösung zu kommen? Irgendwie hab ich ein Brett vorm Kopf

10.11.2009, 11:43

Jacques

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Hallo,

Ich würde vielleicht bei der Surjektivität anfangen:

Gegeben ist eine Funktion f aus

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Abb}(X, \{ 0, 1 \}) \end{eqnarray*}$

Dann kann man f schreiben als

$\begin{eqnarray*} f\colon\, x \longmapsto \begin{cases}1, & \textrm{falls } x \in M \\ 0, & \textrm{falls } x \in N \end{cases} \end{eqnarray*}$

mit zwei Mengen

$\begin{eqnarray*} M, N, M \cup N = X \end{eqnarray*}$

Lässt sich die Funktion f als charakteristische Funktion einer Teilmenge von X darstellen?

10.11.2009, 12:39

S_A_S

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Das muss sie ja da ja sonst keine bijektivität möglich wäre.
Mir ist aber die Vorstellung wie die chrakteristische funktion und meine abilldung und die potenzmenge zusammenhängen etwas unklar. das macht es natürlich dann schwer das ganz zu beweisen

10.11.2009, 12:54

Jacques

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Man hat eine Ausgangsmenge X, beispielsweise

$\begin{eqnarray*} X = \{ 1, 2, \ldots, 6 \} \end{eqnarray*}$

Davon bildet man die Potenzmenge:

$\begin{eqnarray*} \wp(X) = \{ \varnothing, \{1\}, \{2\}, \ldots, \{ 6\}, \{1, 2\}, \ldots, X \} \end{eqnarray*}$

Zu jedem Element A von p(X) bzw. zu jeder Teilmenge A von X existiert die charakteristische Funktion von A bezüglich X, die jedem Element von A die Zahl 1 zuordnet und jedem Element von X\A die Zahl 0.

Also z. B.

$\begin{eqnarray*} \chi_{\{2, 4, 5\}}\colon\, x \longmapsto \begin{cases} 1, & \textrm{falls } x \in \{2, 4, 5 \}\\ 0, & \textrm{falls } x \in \{ 1, 3, 6 \} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Weil jede Teilmenge eine zugehörige charakteristische Funktion hat, kann man eine neue Abbildung aufstellen, die jeder Teilmenge von X die zugehörige charakteristische Funktion zuordnet:

$\begin{eqnarray*} \Phi\colon\, A \longmapsto \chi_A \end{eqnarray*}$

(mit A Teilmenge von M)

Du sollst jetzt zeigen, dass diese Abbildung bijektiv ist, also eine Eins-zu-eins-Beziehung zwischen Teilmengen und Funktionen besteht.

10.11.2009, 13:54

S_A_S

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Also, wenn A ElementP(X), dann ist die Char, Funktion 1 und wenn diese 1 ist dann liegt A in der Potenzmenge?
Oder wird da das Problem zu sehr vereinfacht?

10.11.2009, 14:21

Jacques

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Das ist nicht richtig. Man betrachtet sowieso nur Elementen von P(X), also die charakteristische Funktion zeigt nicht an, ob A in P(X) liegt o. ä.

Jeder Teilmenge A von X wird durch $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ die zugehörige charakteristische Funktion zugeordnet. Im Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \{ 1 \} \longmapsto \chi_{\{1\}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \{ 4, 6 \} \longmapsto \chi_{\{4, 6\}} \end{eqnarray*}$

u. s. w.

Und eine einzelne charakteristische Funktion

$\begin{eqnarray*} \chi_A \end{eqnarray*}$

ordnet allen Elementen von A die Zahl 1 zu und allen restlichen Elementen von X die Zahl 0.

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10.11.2009, 14:27

S_A_S

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Da ja A Teilmenge von X ist, ist in dem Fall doch immer die chrakteristische Funktion 1.Da ja in der potenzmenge nur Elemente von X drin sind - abgesehen von der Leeren Menge, für die ist aber dann die chrakt. Funktion dann ja 0 oder?

10.11.2009, 14:46

Jacques

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Es geht aber nicht um die charakteristische Funktion

$\begin{eqnarray*} \chi_X \end{eqnarray*}$

Sondern jede Teilmenge A bekommt eine eigene charakteristische Funktion. Diese Funktion ist 1, wenn das Element in A liegt und 0, wenn das Element außerhalb von A liegt (also in X\A).

Also z. B.

$\begin{eqnarray*} \Phi\{ 4, 6 \} = \chi_{\{4, 6\}} \end{eqnarray*}$

Die charateristische Funktion

$\begin{eqnarray*} \chi_{\{4, 6\}} \end{eqnarray*}$

gibt 1 aus, wenn man 4 oder 6 eingibt. Und sie gibt 0 aus, wenn man 1 oder 2 oder 3 oder 5 eingibt.

10.11.2009, 14:50

S_A_S

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So langsam dämmert es endlich bei mir.

Also ist diese "eigene charakteristische Funktion" immer, dann war, wenn die zugehörige Menge oder eine Teilfolge von der Zugehörigen Menge "eingegeben" wird. Also bei dem gegebene Beispiel mit {4,6} wäre die Funktion auch wahr, wenn man {4} eingeben würde? Aber nicht Wenn man {4,5} eingibt, auch wenn {4,5} Element aus X wäre.

Verstehe ich das inzwischen richtig?

10.11.2009, 14:55

Jacques

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Noch nicht ganz, denn in die einzelnen charakteristischen Funktionen werden die Elemente der Grundmenge X eingegeben, nicht die Teilmengen von X.

Also beim obigen Beispiel gibt man in die Funktionen die Zahlen 1, 2, 3, ..., 6 ein, keine Mengen wie {1, 2}. Wenn bei einer charakteristischen Funktion

$\begin{eqnarray*} \chi_A \end{eqnarray*}$

die eingegebene Zahl in A liegt, dann gibt die Funktion die Zahl 1 aus, sonst die Zahl 0. Also wenn z. B. A = {2, 3}, dann wird bei Eingabe von 2 oder 3 die Zahl 1 ausgegeben, bei 1 oder 4 oder 6 die Zahl 0.

10.11.2009, 14:57

S_A_S

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Ah okay, nun hab ich das endlich verstanden.

Vielen Dank für die Geduld mit mir.

05.12.2009, 20:51

Claudia105

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Ich hab die gleiche Aufgabe, aber aber leider noch nicht verstanden, wie es gehen soll.

Wie man Surjektiv, Injektiv, bijektiv beweist ist mir eigentlich klar, aber auf diesen fall bezogen nicht.

Ich mus jetzt zeigen, dass die neu gewählt Fkt bijektiv ist? $\begin{eqnarray*} \Phi\colon\, A \longmapsto \chi_A \end{eqnarray*}$

Sei dann y aus $\begin{eqnarray*} \chi_A \end{eqnarray*}$ , so dass dann ein x€A ex?

05.12.2009, 21:10

Claudia105

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PS: Für Injektivität habe ich irgendwie ein verständis problem.

wenn f(x1) und f(x2) gleich sind. Können sie ja z.B. beide 1 sein. Dann müssen doch auch x1 und x2 gleich sein. Aber meine Elemente in der Teilmenge können doch irgendwelche werte habe. Es können doch auch 5 und 6 die in A liegen auf 1 abgebildet werden.

Das wäre aber dann nicht injektiv, was es ja aber sein soll.

Vielleicht kann mir jemand erklären, wo da mein Denkfehler liegt?

05.12.2009, 23:30

system-agent

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Zitat:

Original von Claudia105
Ich mus jetzt zeigen, dass die neu gewählt Fkt bijektiv ist? $\begin{eqnarray*} \Phi\colon\, A \longmapsto \chi_A \end{eqnarray*}$

Sei dann y aus $\begin{eqnarray*} \chi_A \end{eqnarray*}$ , so dass dann ein x€A ex?

Das ist Unsinn.
$\begin{eqnarray*} \chi_A \end{eqnarray*}$ ist eine Funktion und eine Funktion enthält keine Elemente.

Deine Zuordnung $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ schickt eine Menge auf eine Funktion [und nicht zb Zahlen auf andere Zahlen].
Die Umkehrabbildung schickt eine Funktion auf eine Menge.

06.12.2009, 02:00

Claudia105

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Stimmt, das machte keinen Sinn. Alos kommt y aus {0,1} oder?

Und kann mir jemand erklären, wo ich bei der Injektivität den Gedankenfehler gemacht habe?

06.12.2009, 03:12

Airblader

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Zitat:

Original von Claudia105
Alos kommt y aus {0,1} oder?

Hast du das von system-agent wirklich gelesen? unglücklich

unglücklich

Es wird auf eine Funktion abgebildet. Und weder 0, 1 noch {0,1} sind Funktionen, oder?

air

06.12.2009, 09:15

Claudia105

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Aber da stand doch auch : eine Funktion enthält keine Elemente.

Und ich muss mir doch das Element y setzen verwirrt

verwirrt

06.12.2009, 09:40

system-agent

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$\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ geht eben nicht von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \chi_A \end{eqnarray*}$ wie du das meinst, sondern $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ ist eine Funktion von der Potenzmenge [=Menge der Untermengen von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ] in die Menge aller Abbildungen von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \{0,1\} \end{eqnarray*}$ .

Das heisst die Elemente der Definitionsmenge von $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ sind selbst Mengen und die Elemente der Zielmenge von $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ sind Funktionen.
Hier heisst also Injektivität:
Falls
$\begin{eqnarray*} \chi_A=\Phi(A)=\Phi(B)=\chi_B \end{eqnarray*}$ bedeutet dass die beiden Funktionen
$\begin{eqnarray*} \chi_A: X\to\{0,1\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \chi_B: X\to\{0,1\} \end{eqnarray*}$
genau gleich sind.
Du musst nun folgern, dass bereits die Mengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ gleich waren.

06.12.2009, 20:10

Claudia105

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Danke schön, das hat mir sehr weitergeholfen!!

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