Gruppen Neutrales Element

10.11.2009, 14:37

karacan

Gruppen Neutrales Element

Sei M die Menge aller Bijektiven Abbildungen von R nach R DIe verkettung zweier bijektiven abbildungen ist wieder bijektiv

(f verkettet g):=f(g(x)) f(x)=x+1 g(x)= x^3
Gesuche: 1 das neutrale element
2 wie lautet das inverse element zu f(x)=x+1 und zu g(x)=x^3

10.11.2009, 14:50

Jacques

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Hallo,

Du kannst ja allgemein überlegen, wie das neutrale Element und die inversen Elemente der Gruppe lauten:

Welche Bijektion verhält sich neutral, wenn man sie mit einer anderen Bijektion verkettet?

10.11.2009, 15:47

karacan

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ich hab halt das jetzt so gemacht das x das neutrale element ist
und das f^-1 also die inversevon f(x)= -x-1 lautet und die inverse von g(x)=die 3 wurzel aus x ist
also beides mal das gegenteil wobei ich bei g(x) nicht genau weiss ob die inverse -x^3 sein sollte oder die 3te wurzel aus x
und was das neutrale element ist oder wie ich das herausfinden kann habe ich auch nicht verstanden

hoffe ihr könnt mir weiterhelfen

10.11.2009, 16:53

Jacques

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Allgemein:

Wenn eine Gruppe (G, *) gegeben ist, dann heißt ein Element n von G genau dann neutrales Element der Gruppe, wenn

$\begin{eqnarray*} x \ast n = x \end{eqnarray*}$

für alle x aus G gilt, d. h. die Verküpfung mit n nichts bewirkt.

Das neutrale Element Deiner obigen Gruppe muss also eine Bijektion g sein, welche die Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} f \circ g = f \end{eqnarray*}$

für alle Funktionen f hat. Das gilt genau für die Identität auf R, also für die Funktion

$\begin{eqnarray*} \operatorname{id}_{\mathbb{R}}\colon\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \qquad x \longmapsto x \end{eqnarray*}$

Denn für alle reellen Bijektionen f gilt

$\begin{eqnarray*} f \circ \operatorname{id}_{\mathbb{R}} = f \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht, ob Du mit „x“ die Identität meintest, aber Deine Schreibweise wäre in jedem Fall nicht korrekt. Denn „x“ alleine ist nur ein Term, gesucht ist aber eine Funktion.

Dass die inversen Elemente die Umkehrfunktionen sind, ist richtig. Aber Du hast sie falsch berechnet:

Zitat:

Original von karacan

... f^-1 also die inversevon f(x)= -x-1 lautet und die inverse von g(x)=die 3 wurzel aus x ist
also beides mal das gegenteil wobei ich bei g(x) nicht genau weiss ob die inverse -x^3 sein sollte oder die 3te wurzel aus x

Du kannst die Funktionen doch schonmal mit konkreten Zahlen testen:

$\begin{eqnarray*} f(1) = 2 \end{eqnarray*}$

Aber

$\begin{eqnarray*} -2-1 = -3 \neq 1 \end{eqnarray*}$

Also ist -x-1 als Term für die Umkehrfunktion falsch. Überleg doch mal: Wenn f jeder Zahl x den „Nachfolger“ x+1 zuordnet, wie kommt man dann vom „Nachfolger“ wieder zurück auf die Ausgangszahl?

Bei g:

$\begin{eqnarray*} f(2) = 2^3 = 8 \end{eqnarray*}$

Aber

$\begin{eqnarray*} -8^3 = -512 \neq 2 \end{eqnarray*}$

Also ist -x³ als Vorschrift für die Umkehrfunktion nicht richtig. Die dritte Wurzelfunktion stimmt, allerdings nur unter der Bedingung, dass Ihr auch negative Zahlen unter Wurzeln zulasst, also Wurzeln wie

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-1} \end{eqnarray*}$

Sonst muss man schreiben:

$\begin{eqnarray*} g^{-1}\colon\, x \longmapsto \operatorname{sgn}(x) \cdot \sqrt[3]{|x|} \end{eqnarray*}$

Wobei sgn die Vorzeichenfunktion ist, die positiven Zahlen die 1, der 0 die 0 und negativen Zahlen die -1 zuordnet und in dem Fall einfach negative Vorzeichen aus der Wurzel vor die Wurzel zieht.

10.11.2009, 19:03

karacan

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kannst du mir eine methode zeigen wie ich die umkehrfunktionen herausfinden kann z.b für das f(x)=x+1 wie ich da schritt für schritt auf die umkehrfkt kommen könnte

10.11.2009, 19:10

Jacques

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Bei f(x) = x + 1 braucht man die Umkehrfunktion nicht zu berechnen, es ist einfach f^(-1)(x) = x - 1.

Aber sonst kann man die Funktionsvorschrift als Gleichung schreiben:

$\begin{eqnarray*} y = \ldots x \ldots \end{eqnarray*}$

Dann x und y vertauschen und die Gleichung nach x auflösen.

Zum Beispiel die Umkehrfunktion von f(x) = 2x - 1:

1. Als Gleichung schreiben:

$\begin{eqnarray*} y = 2x - 1 \end{eqnarray*}$

2. Variablen vertauschen:

$\begin{eqnarray*} x = 2y - 1 \end{eqnarray*}$

3. Gleichung nach x auflösen:

$\begin{eqnarray*} x = 2y - 1 \Longleftrightarrow 2y = x + 1 \Longleftrightarrow y = \frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Aber bei einfachen Funktionen kann man die Umkehrfunktion, wie gesagt, einfach „erraten“.

10.11.2009, 19:22

karacan

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danke^^

10.11.2009, 19:31

karacan

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das mit dem neutralen element klappt irgendwie immernoch nicht ich habe es bis zum punkt verstanden wo du meinst f o g=f

wäre dan das neutrale element in diesem fall x+1?

könntest du mir noch bitte erklären wie ich herausfinde ob (M,o) kommutativ ist oder nicht?

10.11.2009, 19:45

Jacques

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In einer Gruppe gibt es doch nur ein einziges neutrales Element. Also das, was wir oben rausgefunden haben, gilt für alle Funktionen. Es gibt keine Funktion, die nochmal ein „eigenes“ neutrales Element hat.

Bei der Verkettung würde ich ein Gegenbeispiel suchen: Zwei reelle Bijektionen f und g mit

$\begin{eqnarray*} f \circ g \neq g \circ f \end{eqnarray*}$

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