Vektorrechnung: Mit Punkten und Gerade weiteren Punkt errechnen

10.11.2009, 16:24

Antoras

Vektorrechnung: Mit Punkten und Gerade weiteren Punkt errechnen

Hallo,

ich hab eine Gerade g: $\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und die beiden Punkte $\begin{eqnarray*} A(6|0|2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B(4|3|5) \end{eqnarray*}$ gegeben. Ich soll einen Punkt C berechnen, der so auf g liegt, dass das Dreieck ABC bei C einen rechten Winkel hat.

Ich hab mit dem Stützvektor von g und den beiden Punkten eine Ebene errechnet und daraus den Normalenvektor. Allerdings hab ich feststellen müssen, dass mich das nicht im geringsten weiterhilft. Ich weiß nur, dass für einen rechten Winkel das Skalarprodukt 0 sein muss.

Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich am besten auf C komme?

10.11.2009, 16:29

riwe

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RE: Vektorrechnung: Mit Punkten und Gerade weiteren Punkt errechnen
das skalarprodukt CA*CB=0 und C liegt auf g ist eine möglichkeit

10.11.2009, 16:54

Antoras

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RE: Vektorrechnung: Mit Punkten und Gerade weiteren Punkt errechnen
Daran hab ich auch schon gedacht, aber wie komme ich auf CA bzw. CB? A und B hab ich ja, aber wie kann ich mit denen, in Verbindung mit der Geraden, was anfangen?

10.11.2009, 17:12

riwe

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RE: Vektorrechnung: Mit Punkten und Gerade weiteren Punkt errechnen
du brauchst doch nur zu berücksichtigen, dass C auf g liegt:

$\begin{eqnarray*} \vec{c}=\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn du das in das obige skalarprodukt einsetzt, bekommst du eine quadratische gleichung in t.

eine alternative wäre die "thaleskugel" smile

10.11.2009, 17:38

Antoras

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RE: Vektorrechnung: Mit Punkten und Gerade weiteren Punkt errechnen
Du meinst also so was:
$\begin{eqnarray*} \vec{c}=\left(\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\0\\2\end{pmatrix}\right)*\left(\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\3\\5\end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$

Da bekomm ich für t = 2 raus.
Wenn ich das t aber in g einsetze, dann komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} \vec{c}=\begin{pmatrix}4\\5\\3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Das ergibt mit einem der beiden Punkte aber nicht 0.

Und von einer Thaleskugel hab ich noch nie was gehört. Hab mir das auf Wikipedia mal angeguckt, bin bisher daraus aber noch nicht schlau geworden...

10.11.2009, 18:08

riwe

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RE: Vektorrechnung: Mit Punkten und Gerade weiteren Punkt errechnen
ich weiß ja nicht, was du grechnet hast, ich bin ja kein hellseher unglücklich

ich erhalte für den 1. wert $\begin{eqnarray*} t_1=1 \end{eqnarray*}$

und damit hast du einen rechten winkel bei C smile

anmerkung: das heißt NICHT c = (..)(..) sondern (..)(..) = 0 NULL!

10.11.2009, 22:30

Antoras

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Ich hab einfach in deine genannte Formel für das C jeweils die Gerade g eingesetzt und dann von diesem Term jeweils A und B abgezogen. Mein Rechenweg:
$\begin{eqnarray*} 0=\left(\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\0\\-2\end{pmatrix}\right)*\left(\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\3\\5\end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=\begin{pmatrix}-2\\1+2t\\3+t\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}0\\2t-2\\t-4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=2t+4t^{2}-2-4t+3t-12+t^{2}-4t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=5t^{2}-3t-14 \end{eqnarray*}$

Ergibt (mit dem Taschenrechner) t=2

Was hab ich falsch gemacht? Und was muss ich dann machen? Ich hab t in die Gerade eingesetzt und dann den Vektor bestimmt. Und der muss zusammen mit einem Punkt beim Skalarprodukt doch 0 geben. Das war aber nie so. Weder mit t=2 noch mit t=1.

Zitat:

anmerkung: das heißt NICHT c = (..)(..) sondern (..)(..) = 0 NULL!

Danke für den Hinweis.

10.11.2009, 23:40

riwe

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Zitat:

Original von Antoras
Ich hab einfach in deine genannte Formel für das C jeweils die Gerade g eingesetzt und dann von diesem Term jeweils A und B abgezogen. Mein Rechenweg:
$\begin{eqnarray*} 0=\left(\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\0\\-2\end{pmatrix}\right)*\left(\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\3\\5\end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=\begin{pmatrix}-2\\1+2t\\3+t\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}0\\2t-2\\t-4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=2t+4t^{2}-2-4t+3t-12+t^{2}-4t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=5t^{2}-3t-14 \end{eqnarray*}$

Ergibt (mit dem Taschenrechner) t=2

Was hab ich falsch gemacht? Und was muss ich dann machen? Ich hab t in die Gerade eingesetzt und dann den Vektor bestimmt. Und der muss zusammen mit einem Punkt beim Skalarprodukt doch 0 geben. Das war aber nie so. Weder mit t=2 noch mit t=1.

Zitat:

anmerkung: das heißt NICHT c = (..)(..) sondern (..)(..) = 0 NULL!

Danke für den Hinweis.

alw ich noch jung war, da glaubte man an die unfehlbarkeit gottes, nicht des taschenrechners. das fand und finde ich eigentlich befriedigender Augenzwinkern

aber auch hier liegt der fehler beim menschen smile

also gib dieses ein:

$\begin{eqnarray*} 0=\left(\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\0\\2\end{pmatrix}\right)*\left(\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\3\\5\end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$

man beachte die z-komponente des ortsvektors von A Big Laugh

woraus folgen sollte

$\begin{eqnarray*} 0=\begin{pmatrix}-2\\1+2t\\-1+t\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}0\\2t-2\\t-4\end{pmatrix}\to 5t^2-7t+2=0\to t_{1,2}=\frac{7\pm 3}{10}\to t_1=1 \end{eqnarray*}$

11.11.2009, 16:15

Antoras

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Hallo,

ich hab mich verschrieben, die richtigen Koordinaten für Punkt A sind $\begin{eqnarray*} A(6|0|-2) \end{eqnarray*}$ . Tut mir leid!

Aber das ändert nichts daran, dass das Skalarprodukt nicht 0 ergibt wenn ich t (egal ob 1 oder 2) in g einsetze und den resultierenden Vektor mit A oder B multipliziere.

11.11.2009, 16:34

riwe

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Zitat:

Original von Antoras
Hallo,

ich hab mich verschrieben, die richtigen Koordinaten für Punkt A sind $\begin{eqnarray*} A(6|0|-2) \end{eqnarray*}$ . Tut mir leid!

Aber das ändert nichts daran, dass das Skalarprodukt nicht 0 ergibt wenn ich t (egal ob 1 oder 2) in g einsetze und den resultierenden Vektor mit A oder B multipliziere.

vielleicht hörst du auf, dich dauernd zu verschreiben und anschließend einmal mit den "nicht verschriebenen" und dann mit den "verschriebenen" werten zu rechnen und nonsens zu behaupten unglücklich

$\begin{eqnarray*} t=2\to (2,-5,-5)^T\cdot (0,-2,2)^T=0 \end{eqnarray*}$

11.11.2009, 22:07

Antoras

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Abend, ich habs jetzt verstanden. Hatte zuvor mit den falschen Vektoren gerechnet - hab jetzt aber für das Skalarprodukt 0 rausbekommen.

Vielen Dank für deine Hilfe und nochmal sorry für den falschen Punkt.

11.11.2009, 22:39

riwe

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dann solltest du auch noch den 2. punkt bestimmen smile

11.11.2009, 23:41

Antoras

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Stimmt, den sollte man nicht vergessen. Dessen Skarlarprodukt ist auch 0 - also, ich würde sagen, Aufgabe komplett gelöst.

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