Konvergenz

10.11.2009, 17:19

MaundrellBelle

Konvergenz

Hallo ihr Lieben,

ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter. Und zwar Zeige, dass die Zahlenfolge (a_n) gegen einen wert a konvergieren und gib die zugehörige Epsilon - n_0 - Abschätzung an:

a_n = $\begin{eqnarray*} \frac{n^{2}}{n^{2} + 2n +2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1 - \sqrt{n}}{1 + \sqrt{n} } \end{eqnarray*}$

So, bei der ersten Aufgabe habe ich folgenden Lösungsansatz:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = 1 \end{eqnarray*}$

a_n - g < Epsilon

$\begin{eqnarray*} \frac{n^{2}}{n^{2} + 2n +2} - 1 < \epsilon \end{eqnarray*}$

Was muss ich denn jetzt machen?

Und bei der zweiten Aufgabe habe ich überhaupt keine Idee, aber ich glaube dass der Limes so aussehen müsste

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = -1 \end{eqnarray*}$

Könnte mir bitte jemand helfen?

Liebe Grüße, Belle

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

10.11.2009, 18:13

klarsoweit

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RE: Kovergenz
Die Grenzwerte hast du richtig bestimmt.

Zitat:

Original von MaundrellBelle
$\begin{eqnarray*} \frac{n^{2}}{n^{2} + 2n +2} - 1 < \epsilon \end{eqnarray*}$

Was muss ich denn jetzt machen?

Ich würde mal den Ausdruck auf der linken Seite zusammenfassen. smile

10.11.2009, 18:31

BelleMaundrell

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Konvergenz
Danke für Deine schnelle Antwort! Gott

Habe das jetzt mal versucht um zu stellen ... hoffe, dass mir das auch gelungen ist, weil dass kann ich nicht besonders gut.

$\begin{eqnarray*} n \leq \sqrt{\epsilon} \end{eqnarray*}$

Könnte das stimmen? Muss ich denn jetzt eigentlich nach "n" umstellen?

10.11.2009, 18:35

klarsoweit

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RE: Konvergenz

Zitat:

Original von BelleMaundrell
Könnte das stimmen?

Nein.

Zitat:

Original von BelleMaundrell
Muss ich denn jetzt eigentlich nach "n" umstellen?

Ja. Wobei du auch abschätzen darfst, denn mußt ja nur ein von epsilon abhängiges N_0 angeben, so daß |a_n - g| < epsilon ist für alle n > N_0.

10.11.2009, 18:47

BelleMaundrell

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Konvergenz
Neuer Lösungsvorschlag: geschockt

$\begin{eqnarray*} - 2n - 2 \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

So und nun nach n umstellen, falls die Lösung richtig ist!

10.11.2009, 19:33

klarsoweit

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RE: Konvergenz
Wie wäre es, wenn du mal genauer beschreibst, wie du $\begin{eqnarray*} |\frac{n^{2}}{n^{2} + 2n +2} - 1| \end{eqnarray*}$ umformst?

10.11.2009, 19:52

BelleMaundrell

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Lösungsansatz für Konvergenz
So, ich habe folgenden Vorschlag wie ich das Umformen würde:

$\begin{eqnarray*} \left (\frac{n^{2} }{ n^{2} + 2n + 2 } \right) - 1 \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{n^{2} }{ n^{2} + 2n + 2 } - \frac {1 } {n^{2} + 2n + 2} \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{n^{2} \cdot \left(n^{2}+ 2n +2 \right)}{n^{2} + 2n +2} - \frac{1 \cdot \left(n^{2}+ 2n +2 \right)}{n^{2} + 2n +2} \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} n^{2} - 1 \left(n^{2} + 2n +2\right) \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} n^{2} - n^{2} - 2n - 2 \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} - 2n - 2 \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

So, bin ich zu diesem Ergebnis gekommen. Ich hoffe, dass Du damit etwas anfangen kannst! smile

11.11.2009, 08:20

klarsoweit

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RE: Lösungsansatz für Konvergenz

Zitat:

Original von BelleMaundrell
= $\begin{eqnarray*} \frac{n^{2} }{ n^{2} + 2n + 2 } - \frac {1 } {n^{2} + 2n + 2} \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

Bruchrechnung ist doch nicht so einfach. Schon dieses Zeile ist falsch. Und über die Umformungen von dieser zu den nächsten Zeilen legen wir mal den Mantel des Schweigens. unglücklich

Frage am Rande: warum tust du dir Mathe an?

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Konvergenz

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