[Artikel] Schneiden sich zwei Strecken

11.11.2009, 10:04	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage: Schneiden sich zwei Strecken Die Punkte A (2,1,6) und B (5,4,3) bilden die Strecke AB, C (5,1,3) und D (3,5,5) die Strecke CD. Es soll geklärt werden, ob sich die beiden Strecken schneiden! (Berechnung mithilfe von Vektoren)
11.11.2009, 10:46	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Antwort: Schneiden sich zwei Strecken Zunächst einige allgemeine Überlegungen. Eine Strecke ist Teil einer Geraden. Geraden im Raum ( $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ ) können 1) identisch oder 2) zueinander parallel sein, oder können sich 3) kreuzen (windschief) oder 4) schneiden. Die Voraussetzung für 1) und 2) wäre, dass die Ortsvektoren der beiden Strecken voneinander linear abhängig sind. Für diesen Fall müßte für die beiden Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{AB}=\vec{a}=\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \,\,\,\,\vec{CD}=\vec{c}=\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gelten: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}=t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Was soviel bedeutet, dass ein Vektor ein beliebiges Vielfaches des anderen ist. Siehe dazu auch "Lineare Unabhängigkeit". Die obige Parameterdarstellung kann man in dieses Gleichungssystem überführen: 3 = -2t 3 = 4t -3 = 2t Bei linearer Abhängigkeit müßte $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ in diesem LGS gleichzeitig zwei verschiedene Werte annehmen. Es gibt also kein $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ , um $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \vec{c} \end{eqnarray}$ umzuformen, daher sind die beiden Vektoren linear unabhängig und die Fälle 1) und 2) scheiden aus. Für das weitere Vorgehen benötigen wir die beiden Vektoren genormt, d. h. mit Länge 1. Das erreicht man durch Division der Vektoren durch ihre Länge (Betrag). Siehe dazu auch diesen Link $\begin{eqnarray} \vec{a_n}=\frac{1}{\sqrt{27}} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{c_n}=\frac{1}{\sqrt{24}} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ob sich die beiden Strecken schneiden oder sich kreuzen (windschief sind), kann man anhand der folgenden Gleichung feststellen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} +r \cdot \frac{1}{\sqrt{27}} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \frac{1}{\sqrt{24}} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn die Parameter r und s Werte zwischen 0 und der Größe des zugehörigen Vektors (einschließlich) annehmen, schneiden sich die beiden Strecken, wenn ein oder beide Parameter kleiner 0 oder größer als der jeweilige Betrag ist, schneiden sich nur die Geraden, zu denen die Strecken gehören, und wenn es für die Parameter keine Lösung gibt, sind die beiden Strecken zueinander windschief. Die Gleichung dargestellt als LGS: $\begin{eqnarray} 2+\frac{3}{\sqrt{27}} \cdot r=5-\frac{2}{\sqrt{24}} \cdot s \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1+\frac{3}{\sqrt{27}} \cdot r=1+\frac{4}{\sqrt{24}} \cdot s \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 6-\frac{3}{\sqrt{27}} \cdot r=3+\frac{2}{\sqrt{24}} \cdot s \end{eqnarray}$ Dies nach einem gängigen Verfahren aufgelöst ergibt: $\begin{eqnarray} r=\frac{2}{3}\cdot \sqrt{27} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} s=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{24} \end{eqnarray}$ Sowohl $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ sind größer 0 und kleiner als der jeweilige Betrag des Vektors, was bedeutet, dass sich die Strecken schneiden. Indem wir $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ in das LGS einsetzen, erhalten wir sowohl links als auch rechts die Koordinaten des Schnittpunktes (4; 3; 4). $\begin{eqnarray} 2+\frac{3}{\sqrt{27}} \cdot \frac{2}{3}\cdot \sqrt{27}=5-\frac{2}{\sqrt{24}} \cdot \frac{1}{2}\cdot \sqrt{24}=4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1+\frac{3}{\sqrt{27}} \cdot \frac{2}{3}\cdot \sqrt{27}=1+\frac{4}{\sqrt{24}} \cdot \frac{1}{2}\cdot \sqrt{24}=3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 6-\frac{3}{\sqrt{27}} \cdot \frac{2}{3}\cdot \sqrt{27}=3+\frac{2}{\sqrt{24}} \cdot \frac{1}{2}\cdot \sqrt{24}=4 \end{eqnarray}$

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