Komplexe Gleichung zeigen mittels Integral

10.11.2009, 18:04	stereo	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Gleichung zeigen mittels Integral Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: Sei $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ eine beliebige Kurve, die die Punkte $\begin{eqnarray} z_1=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z_2=1 \end{eqnarray}$ verbindet und nicht durch $\begin{eqnarray} \pm i \end{eqnarray}$ geht. Zeigen Sie, dass: $\begin{eqnarray} ^\gamma \int_0^1 \frac{\dd z}{z^2+1} = \frac{\pi}{4} + k \pi \end{eqnarray}$ mit einem $\begin{eqnarray} k \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ gilt. Hinweis: Partialbruchzerlegung und Verwendung von $\begin{eqnarray} \int_{\|z-z_0\|=r} ~ \frac {1}{z-z_o} \dd z =2\pi i \end{eqnarray}$ Also ich hab Partialbruchzerlegung angewandt und kommt jetzt auf folgendes: $\begin{eqnarray} ^\gamma \int_0^1 \frac{\dd z}{z^2+1} = i \frac 1 2 \left( ^\gamma \int_0^1 \frac {1}{z+i} - \frac{1}{z-i}~ \dd z \right) \end{eqnarray}$ Ich kann ja jetzt das Integral auseinander ziehen, aber ich weiß grad nicht wie es weiter gehen soll. Ich male auch schon die ganze Zeit Bilder und habe folgendes (vielleicht nützliches) gefunden: Für 2 beliebige Kurven von 0 zu 1 gilt: $\begin{eqnarray} \int_{\gamma_1 + (- \gamma_2)} f(w) ~\dd w = \int_{\|w - (-i)\|=r\|} f(w) ~\dd w \end{eqnarray}$ Die Kurven Gamma 1 und 2 verlaufen von 0 bis 1 und Gamma 2 "umschließt" den Punkt -i. Ich wäre für jeden Tip dankbar.
11.11.2009, 10:30	stereo	Auf diesen Beitrag antworten »
Morgen, so richtig bin ich noch nicht weiter gekommen. Das sind meine Überlegungen: Ich geh mal von der Annahme aus dass die Kurven doppelpunktfrei sind. Ich weiß das es n Möglichkeiten gibt von 0 zu 1 zu kommen ohne i, -i zu "umfahren". Und es gibt m Möglichkeiten wenn man die Punkte "umfährt". Hier könnte das k aus der gegeben Gleichung ins Spiel kommen. Ich hatte auch schon versucht rein rechnerisch weiter zu kommen, aber ohne Erfolg. Der Weg ist ja schon parametrisiert, also: Angenommen es gibt eine Parametrisierung $\begin{eqnarray} \gamma(z) \text{ und } z \in [0,1] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ^\gamma \int_0^1 \frac{\dd z}{z^2+1} ~ \dd z = ^\gamma \int_0^1 f(\gamma(z)) \cdot \gamma'(z) ~ \dd z = \int_\gamma f(w) ~ \dd w \end{eqnarray}$ Ist das so richtig oder ist z die Parametriesierung der Kurve? Ich bin über jede Anregung dankbar
11.11.2009, 11:43	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwierig, dir zu helfen, weil man nicht weiß, wie weit der Stand der Vorlesung ist. Wenn du zum Beispiel die Windungszahl verwenden darfst, ist es nicht allzu schwer zu beweisen. Dann müßtest du nur die Kurve $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ durch die Strecke $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ von 1 nach 0 schließen. Mittels der Partialbruchzerlegung und der Windungszahl könntest du dann $\begin{eqnarray} \int \limits_{\gamma + \sigma} \frac{\dd z}{z^2 + 1} \end{eqnarray}$ berechnen. Es ergibt sich ein Wert $\begin{eqnarray} k \pi \end{eqnarray}$ mit geeignetem $\begin{eqnarray} k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ . Andererseits gilt: $\begin{eqnarray} k \pi = \int \limits_{\gamma + \sigma} \frac{\dd z}{z^2 + 1} = \int_{\gamma} \frac{\dd z}{z^2 + 1} + \int_{\sigma} \frac{\dd z}{z^2 + 1} = \int_{\gamma} \frac{\dd z}{z^2 + 1} + \int_1^0 \frac{\dd x}{x^2 + 1} \end{eqnarray}$ Das letzte Integral ist als gewöhnliches reelles Integral aufzufassen.
11.11.2009, 11:53	stereo	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Windungszahl darf ich nicht verwenden, das hatten wir noch nicht. Ich glaube so komme ich ans Ziel: Ich teile die Kurve in geschlossene Kurven, die um die Singularitäten verlaufen und in einen Teil, der in einem Gebiet verläuft, das 0 und 1 und die reelle achse dazwischen enthält. Die geschlossenen Wegintegrale um die Singularitäten liefern als Wert, je 2 Pi i. Der Rest ist 0. Da ich 2 Integrale habe (durch die Partialbruchzerlegung) habe ich einmal m geschlossene Kurven und einmal n Kurven um die Singularitäten. Jetzt muss ich das noch in die geeignete Form bringen, aber auf dem Schmierblatt steht fast die Formel da. Bemerkung: Ich glaube das ist das Ähnliche wie du geschrieben hast, nur hatten wir diesen Satz noch nicht.
11.11.2009, 13:24	stereo	Auf diesen Beitrag antworten »
Also zusammengefasst: $\begin{eqnarray} ^\gamma \int_0^1 \frac{\dd z}{z^2+1} = i \frac 1 2 \left( ^\gamma \int_0^1 \frac {1}{z+i} - \frac{1}{z-i}~ \dd z \right) = i \frac 1 2 \left( ^\gamma \int_0^1 \frac {1}{z+i}~\dd z - ~^\gamma \int_0^1\frac{1}{z-i}~ \dd z \right) \end{eqnarray}$ Jetzt schaue ich mir das erste Integral an: $\begin{eqnarray} \int_0^1 \frac {1}{z+i} ~\dd z = \hat{k} \cdot \int_{ \| z + i \| = r } \frac 1 {z+i} ~ \dd z + \int_\psi \frac 1 {z+i}~ \dd z \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ die Kurve im Holomorphiegebiet und das erste Integral ist die geschlossene Kurve, die $\begin{eqnarray} \hat{k} \end{eqnarray}$ -mal um die Singularität verläuft. Das gleiche mache ich jetzt für das 2. Integral aus der 1. Gleichung. $\begin{eqnarray} i \frac 1 2 \left( ^\gamma \int_0^1 \frac {1}{z+i}~\dd z - ~^\gamma \int_0^1\frac{1}{z-i}~ \dd z \right) = i \frac 1 2 \left( \hat{k} \cdot \int_{ \| z + i \| = r } \frac 1 {z+i} ~ \dd z + \int_\psi \frac 1 {z+i}~ \dd z - \overline{k} \cdot \int_{ \| z - i \| = r } \frac 1 {z-i} ~ \dd z - \int_\kappa \frac 1 {z-i}~ \dd z \right) \end{eqnarray}$ mit: $\begin{eqnarray} \kappa (t) = \psi (t) = t \quad t \in [0,1] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =i \frac 1 2 \left( \hat{k} \cdot 2\pi i + \ln(z+i) \|_0^1 - \overline{k} \cdot 2 \pi i - \ln(z-i)\|_0^1 \right) \end{eqnarray}$ Mal sehen ob ich so ans Ziel komme.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »