MO Aufgabe: finden von Quadratzahlen mit gegebener Quersumme

Neue Frage »

mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »
MO Aufgabe: finden von Quadratzahlen mit gegebener Quersumme
Hallo,

ich habe hier noch eine Frage von der ich gerne wüsste, wie man sie ohne ausprobieren lösen könnte (und wie man durch ausprobieren auf lösungen kommen könnte):

451132:

Man untersuche ob es keine, endlich viele oder unendlich viele Quadratzahlen gibt, für die die Summe der Ziffern in ihrer Dezimaldarstellung

a) gleich 2006
b) gleich 451132

ist.


Kann man hier vielleicht eine Gleichung aufstellen und dann quadratische Reste betrachten??




Bis denn mathe760 Wink
MLRS Auf diesen Beitrag antworten »
RE: MO Aufgabe: finden von Quadratzahlen mit gegebener Quersumme
bei der a) findet sich schnell ein passender Modul (Ziffernsumme Augenzwinkern )

bei der b) muss man sich wohl mehr einfallen lassen...
 
 
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

ok also bei a) gibt es keine Lösung. Eine Zahl lässt den selben Rest bei division durch 9 wie deren Quersumme. Da 2006 den Rest 8 bei division durch 9 lässt, 8 aber kein quadratischer rest modulo 9 ist, folgt das es keine Lösungen geben kann.


Bei der b) muss ich nochmal schauen..




Bis denn mathe760 Wink
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe kann man folgendermaßen verallgemeinern:

Zitat:
Eine nichtnegative ganze Zahl taucht genau dann irgendwo als Quersumme einer Quadratzahl auf, falls sie modulo 9 zu einem quadratischen Rest kongruent ist - für letztere gibt es die Möglichkeiten 0,1,4,7.

Der Beweis kann hier sogar schön konstruktiv erfolgen: Indem man eine passende Quadratzahl direkt angibt. Augenzwinkern

Aus einer Lösung im Erfolgsfall dann unendlich viele Lösungen zu basteln, dürfte nicht schwer sein.
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

ok ich habs: Die Zahl
hat die Quersumme Q=9*(m-1)+7

für m=50126 ergibt sich das gewünschte. Nun kann man konstruktiv unendlich viele Lösungen angeben:^

erfüllt die bedingung für alle natürlichen Zahlen k.




Bis denn mathe760 Wink
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht gut aus. Freude
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

ok sehr gutAugenzwinkern hmm aber ist die nicht auch etwas zu einfach für 3. Runde?


Bis denn mathe760 Wink
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, wieso? Ich nehme an, auch du hast eine Weile probiert, vielleicht den einen oder anderen Plan gehabt und auch verwerfen müssen - da vergeht schon Zeit, die man der letztlich kurzen Lösung dann nicht unbedingt ansieht.
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

ok stimmt schon, musste schon etwas rumprobieren. Naja dann bin ich erstmal gut gewabnet für die nächste MO, die bei mir übrigens morgen ist Augenzwinkern
Ich habe aus meinen fehlern gelernt, und werde dann morgen das gelernte umsetzen, freu mich schon richtig auf die Aufgaben smile




Bis denn mathe760 Wink
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wird die jetzt samstags geschrieben? Wie gemein, ich hatte früher da immer einen Tag schulfrei, die reinste Erholung. Big Laugh

Wie auch immer, viel Erfolg. Freude
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Viel Erfolg! Freude
Berichte mal, wie es geklappt hat.
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

Jaa mache ich, vielen Dank euch beiden smile Das Board hat mir bei der Vorbereitung auf jeden Fall sehr viel geholfen Freude




Bis denn mathe760 Wink
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »