Produkttopologie kompakter Räume

10.11.2009, 19:25

Seren

Produkttopologie kompakter Räume

Guten Tag,
ich habe folgendes Problem:
Sei $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ eine endliche Indexmenge und $\begin{eqnarray*} \{ X_i | i\in I\} \end{eqnarray*}$ eine Familie kompakter topologischer Räume.
Zeige: $\begin{eqnarray*} \prod_{i\in I} X_i \end{eqnarray*}$ versehen mit der Produkttopologie, ist wieder ein kompakter topologischer Raum.

Meine Überlegungen dazu:
Die $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ sind alle kompakt, d.h. man kann sie mit einer endlichen offenen Teilüberdeckung überdecken, d.h. $\begin{eqnarray*} \exists j \in J : X_i \subset \cup_{j \in J} O_j \end{eqnarray*}$ . Wie komm ich von dieser Aussage zu einer Aussage über die Produkttopologie?
Dabei weiß ich ja noch nicht einmal, wie die Produkttopologie aussieht. Beim bearbeiten dachte ich, dass das einfach $\begin{eqnarray*} \cup_{i\in I} X_i \end{eqnarray*}$ ist. Das ist aber offensichtlich falsch, wie ich später gemerkt habe.

Also ich hoffe mir kann geholfen werden ^^

Seren

10.11.2009, 21:46

Seren

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Hat denn hier wirklich niemand eine Idee? Ich verzweifel schon fast an der Aufgabe ^^
( Das ist kein Hilferuf, sondern eine kleine Motivation mir evtl. doch zu helfen )

10.11.2009, 22:05

sergej88

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Guten Abend,

betrachte hierzu erstmal das Produkt nur von 2 Topologischen Räumen. Den Beweis auf beliebige endliche Produkte wäre damit dann eine einfache Induktionsfolgerung.

mfg

10.11.2009, 22:27

Abakus

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Hallo!

Die Produkttopologie ist die kleinste (=gröbste) Topologie, bzgl. der alle Projektionen stetig sind. Du kannst nun überlegen, was das für die offenen Mengen bedeutet.

Grüße Abakus smile

10.11.2009, 22:27

Seren

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Den Tipp habe ich auch schon bekommen, weiß aber damit nichts anzufangen. Ich kann mir kein Produkt von Topologie vorstellen bzw. sagen, was dafür gilt.
Edit: Das Produkt von Topologien ist doch ähnlichen einem Kartesischem Produkt, oder? d.h. $\begin{eqnarray*} \prod_{i\in I} X_i = X_1 x X_2 x \cdots x X_n \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} I =\{ 1 \cdots n \} \end{eqnarray*}$ oder?

10.11.2009, 22:34

Abakus

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RE: Produkttopologie kompakter Räume
Du hast die i-ten Projektionen:

$\begin{eqnarray*} p_i : \prod_{i\in I} X_i \to X_i \end{eqnarray*}$ .

Die Topologie auf $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ kennst du. Was ist jetzt das Urbild einer offenen Menge $\begin{eqnarray*} U \subseteq X_i \end{eqnarray*}$ bzgl. $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ ?

Da die Projektion stetig sein soll, weißt du, das Urbild ist auch eine offene Menge.

Grüße Abakus smile

10.11.2009, 22:39

Seren

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Ja, soweit bin ich auch schon. Aber was helfen mir die offenen Mengen auf der Produkttopologie?
Sorry, aber ich stehe grade echt auf nem riesen Schlauch.

10.11.2009, 22:45

Seren

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Okay ich probiers nochmal:

Die $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ können endlich teilüberdeckt werden. Demnach auch die offenen Mengensysteme der $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ . Da die projektion stetig ist, landen die offenen Mengen der $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ auf der Produkttopologie - undzwar als Urbild einen stetigen Funktion als offene Menge. Da die Bilder aber schon endlich teilüberdeckt sind, können es die Urbilder genauso. Demnach ist die Gesamtheit alles $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ , die als Komposition die Produkttopologie ergeben auch endlich teilüberdeckbar, da sie ja aus endlich überdeckten Topologien besteht.

So in etwa?

10.11.2009, 23:23

Abakus

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RE: Produkttopologie kompakter Räume

Zitat:

Original von Abakus
Du hast die i-ten Projektionen:

$\begin{eqnarray*} p_i : \prod_{i\in I} X_i \to X_i \end{eqnarray*}$ .

Die Topologie auf $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ kennst du. Was ist jetzt das Urbild einer offenen Menge $\begin{eqnarray*} U \subseteq X_i \end{eqnarray*}$ bzgl. $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ ?

Du gehst auf meine Frage nicht wirklich ein. Das Urbild sieht erstmal wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} X_1 \times X_2 \times~...~U_i~...~\times X_n \end{eqnarray*}$

Das ist also schon eine sehr spezielle Gestalt. Mengen dieses Typs bilden zunächst eine Subbasis der Produkttopologie.

Um zu einer Basis zu kommen, müsstest du noch endliche Durchschnitte bilden und kämst dann auf Mengen des Typs:

$\begin{eqnarray*} U_1 \times U_2 \times~...~U_i~...~\times U_n \end{eqnarray*}$

Zitat:

Die $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ können endlich teilüberdeckt werden. Demnach auch die offenen Mengensysteme der $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ . Da die projektion stetig ist, landen die offenen Mengen der $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ auf der Produkttopologie - undzwar als Urbild einen stetigen Funktion als offene Menge. Da die Bilder aber schon endlich teilüberdeckt sind, können es die Urbilder genauso. Demnach ist die Gesamtheit alles $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ , die als Komposition die Produkttopologie ergeben auch endlich teilüberdeckbar, da sie ja aus endlich überdeckten Topologien besteht.

OK, das ist jetzt sehr unklar formuliert. Nimm dir eine beliebige Überdeckung $\begin{eqnarray*} (V_j)_{j \in J} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \prod_{i\in I} X_i \end{eqnarray*}$ her und gebe dann an, wie die endliche Teilüberdeckung aussehen soll. Das ist die Aufgabe hier.

Dazu wirst du allerdings etwas weiter ausholen müssen.

Grüße Abakus smile

11.11.2009, 00:06

Seren

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RE: Produkttopologie kompakter Räume

Zitat:

Original von Abakus

Du gehst auf meine Frage nicht wirklich ein. Das Urbild sieht erstmal wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} X_1 \times X_2 \times~...~U_i~...~\times X_n \end{eqnarray*}$

Das ist also schon eine sehr spezielle Gestalt. Mengen dieses Typs bilden zunächst eine Subbasis der Produkttopologie.

Um zu einer Basis zu kommen, müsstest du noch endliche Durchschnitte bilden und kämst dann auf Mengen des Typs:

$\begin{eqnarray*} U_1 \times U_2 \times~...~U_i~...~\times U_n \end{eqnarray*}$

Ähm gut, so hab ich das nicht betrachtet, das leuchtet mir ein. Somit wird jedes Element des Kartesischen Produkts durch das System seinen offenen Teilmengen ersetzt, das sehe ich richtig oder?
Nun gut, wenn ich nun das neue System offener Teilmengen habe, gilt doch die obige Argumentation immernoch: Da die offenen Teilmenge überdeckt werden, und sie unter der stetigen Abbildung auf offenen Mengen abgebildet werden, müssten sie ja immer endlich überdeckt werden.

Wie gesagt, Topologie ist nicht so mein Spezialgebiet =/

11.11.2009, 00:31

Abakus

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RE: Produkttopologie kompakter Räume

Zitat:

Original von Seren
Da die offenen Teilmenge überdeckt werden, und sie unter der stetigen Abbildung auf offenen Mengen abgebildet werden, müssten sie ja immer endlich überdeckt werden.

Wie gesagt, Topologie ist nicht so mein Spezialgebiet =/

Hier musst du genauer formulieren. Nicht die offenen Teilmengen werden überdeckt, sondern der gesamte Raum wird erstmal von offenen Mengen der vorgegebenen Überdeckung überdeckt.

Jetzt ist eine endliche Teilüberdeckung gesucht.

Du kannst in einem ersten Schritt jede dieser offenen Teilmengen durch eine Vereinigung von Basismengen (s.o.) ersetzen.

Du erhälst also insgesamt eine Überdeckung nur aus Basismengen.

Darauf kannst du jetzt die Projektion anwenden und müsstest eine offene Überdeckung zB von $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ erhalten. Diese kannst du auf eine endliche reduzieren.

Das musst du für alle n Mengen des kartesischen Produkts machen... und daraus lässt sich letztendlich die endliche Überdeckung des Produktes konstruieren.

Grüße Abakus smile

PS: mit etwas mehr Topologie lässt sich das natürlich blitzschnell zeigen, so ist das noch recht umständlich

11.11.2009, 01:01

Seren

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Viel Dank erstmal,
Was wäre denn die Alternative dazu? Evtl. kann ich damit etwas mehr anfangen, weil sich das schon recht kompliziert anhört.

11.11.2009, 22:57

Abakus

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Zitat:

Original von Seren
Was wäre denn die Alternative dazu? Evtl. kann ich damit etwas mehr anfangen, weil sich das schon recht kompliziert anhört.

Eine Alternative sind zB Ultrafilter und ihre Konvergenz; eine Menge ist etwa genau dann kompakt, wenn jeder Ultrafilter auf ihr konvergiert.

Ich empfehle dir jedoch obige Beweisskizze, ggf. kannst du die Beweisidee ja noch verbessern.

Grüße Abakus smile

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