sin^5 in cos umschreiben

10.11.2009, 19:28	ElKotzi	Auf diesen Beitrag antworten »
sin^5 in cos umschreiben Hallo, zu finden sind die Koeffizienten a0 bis a6 in der Darstellung $\begin{eqnarray} cos(6x)=\sum_{k=0}^6~ak(cos x)^{k} \end{eqnarray}$ . Nun ist das soweit kein Problem, allerdings muss ich im Laufe der Rechnung $\begin{eqnarray} \sin^{5}(x) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \sin^{3}(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sin(x) \end{eqnarray}$ in den Cosinus umformen. Bei geraden Exponenten ist das kein Problem, aber wenn ich die Form der geraden Exponenten auf die ungeraden übertrage wäre z.B. $\begin{eqnarray} \sin^{3}(x)=\left(1-cos^{2}(x) \right)^{1,5} \end{eqnarray*}$ . Damit lässt sich nur ungut weiterrechnen...
10.11.2009, 20:08	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Schon mal von Tschebyscheff-Polynomen gehört?
10.11.2009, 20:16	ElKotzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ehrlich gesagt nicht... Aber ich habe mal ein wenig rumprobiert und bin schließlich drauf gekommen, dass alle Summanden, die einen Sinus enthielten, irrelevant sind. Aber rein interessehalber: Darf man deine Beziehung zur Mathematik erfahren? Die hohe Anzahl an Beiträgen und deine Antwort hier, die bestimmt nicht jeder, der rechnen kann, geben kann, haben mich ein wenig verblüfft, wenn ich ehrlich bin ;-)
10.11.2009, 20:22	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Als ganz ordentlich ausgebildeter Mathematiker sollte man schon einiges kennen. Alles, was du von den Tschebyscheff-Polynomen brauchst, kannst du dir gut auch selbst aus allgemein bekannten Additionstheoremen herleiten: $\begin{eqnarray} \cos((n+1)x) = \cos(nx+x) &=& \cos(nx)\cos(x)-\sin(nx)\sin(x) \\ \cos((n-1)x) = \cos(nx-x) &=& \cos(nx)\cos(x)+\sin(nx)\sin(x) \end{eqnarray}$ summieren, und das $\begin{eqnarray} \cos((n-1)x) \end{eqnarray}$ nach rechts bringen: $\begin{eqnarray} \cos((n+1)x) = 2\cos(nx)\cos(x)-\cos((n-1)x) \end{eqnarray}$ schon hast du die Rekursion, die du nur noch von $\begin{eqnarray} n=1,2,\ldots,5 \end{eqnarray}$ abarbeiten musst.

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