Funktion umformen -> Asymptotenbestimmung

10.11.2009, 19:43	delexi	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion umformen -> Asymptotenbestimmung Guten Abend, gegeben ist folgende gebrochenrationale Funktion : $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{5x^2+8}{3x^2-2x} \end{eqnarray}$ Meine Aufgabe ist es jetzt die Gleichungen aller Asymptoten anzugeben. Da Df = x $\begin{eqnarray} \in \mathbb R \setminus \{ 0, \frac{2}{3} \} \end{eqnarray}$ habe ich einmal x = 0 und einmal x = 2/3. Ist es jetzt richtig, wenn ich 5x^2/3x^2 rechne, um die 3. Asymptote zu bestimmen ? Das wäre dementsprechend y = 5/3. Oder muss ich hier vorher noch irgendetwas umformen, weil ich im Zähler noch ein x habe ?
10.11.2009, 19:51	Mistmatz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist richtig Du klammerst im Zähler und im Nenner x² aus und kürzt es dann oben und unten weg. Dann bleibt 5/3 stehen.
10.11.2009, 20:58	delexi	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie soll ich dort denn x^2 ausklammern ?
15.11.2009, 19:46	Mistmatz	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat a bissal gedauert, war 'ne Zeit ohne Internet... Also: $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{5x^2+8}{3x^2-2x}=\frac{x^2\left(5+\frac{8}{x^2}\right)}{x^2\left(3-\frac{2}{x}\right)}=\frac{5+\frac{8}{x^2}}{3-\frac{2}{x}}\Rightarrow\lim_{x\to\infty}{f(x)}=\frac{5}{3} \end{eqnarray}$ Grundsätzlich gilt für das Verhalten gebrochen-rationaler Funktionen im Unendlichen: Zählergrad < Nennergrad: Die Funktionswerte gehen gegen Null (echt-gebrochen-rationale Funktion). Zählergrad = Nennergrad: Hier betrachtest du die Koeffizienten, die vor den größten Potenzen stehen (in deinem Beispiel 5/3). Der Hintergrund steht oben. Zählergrad > Nennergrad: Hier kannst du eine Polynomdivision durchführen und die Funktion in einen ganz-rationalen und einen echt-gebrochen-rationalen Teil zerlegen. Für den echt-gebrochen-rationalen Teil gilt Punkt 1. D.h. die Funktionswerte nähern sich den Werten der ganz-rationalen Teilfunktion an (schiefe Asymptote für Zählergrad = Nennergrad + 1, Parabel für Zählergrad = Nennergrad + 2, usw.).

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