Injektivität / Surjektivität

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sin(x²)= 99 Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität / Surjektivität
Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen jeweils auf Injektivität und Surjektivität.

(1)




(2)




(3)





Kann mir einer genau erklären was R² -> R bedeutet?

Injektivität bedeutet ja:

MasterOfTheNumbers Auf diesen Beitrag antworten »

Die erste Funktion hatten wir letztens erst hier:
Injektivität/Surjektivität
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Die Schreibweise R² -> R heißt, dass die Menge von



nach R geht. Also jedem Paar reeller Zahlen wird genau eine reelle Zahl zugeordnet.


Bei (1) und (2) kann man Surjektivität und Injektivität sehr leicht überprüfen. Hast Du dafür schon Ergebnisse?
sin(x²)= 99 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn wir zwei reele Zahlen haben, und wir ordnen den zwei Zahlen eine reele Zahl zu, dann kann doch schon von vorn herein keine Injektivtiät vorliegen, weil in der Zielmenge höchstens ein Pfeil ankommen darf, also ein x-Wert

oder irre ich mich da?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Es wird nicht den Zahlen einzeln eine Zahl zugeordnet, sondern einem Paar reeller Zahlen wird die Komponentensumme zugeordnet.

Beispielsweise



sin(x²)= 99 Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok, wenn wir uns Mengen betrachten, dürfen ja nicht 2 x-Werte nicht 1 identisches Ergebnis liefern also zb.: f(x) = x^2
x e R.

Also rein intuitiv würde ich sagen, dass das erste Beispiel injektiv ist.
Aber ist eine Vermutung.

Wie zeige ich denn, dass es für jedes Tupel (x,y) die Rechte Seite immer ein verschiedenen Funktionswert als Ergebnis liefert?

Schauen wir uns doch mal

f(1,2)

und

f(2,1)

genauer an, bei beiden liefert der Funktionswert 3 als Ergebnis.

Mein Ziel ist es doch zu zeigen, dass es zwei Tupel gibt, die auf den selben Funktionswert zeigen!

Dann folgt daraus dass, das erste Beispiel nicht injektiv sein kann.
 
 
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die erste Funktion ist nicht injektiv, denn man kann die Komponenten ja beliebig vertauschen, ohne dass sich die Summe ändert.

Generell ist die Summendarstellung natürlich nicht eindeutig, z. B.

f(3, 3) = f(4, 2) = f(1, 5) u. s. w. (und das sind nur die ganzen Zahlen)



Bei dem Bruch von Aufgabe (3) kannst Du so ähnlich vorgehen. Die Bruchdarstellung ist ja auch nicht eindeutig.
sin(x²)= 99 Auf diesen Beitrag antworten »

ja aber f(2,1) ist doch ein anderer x-Wert als f(1,2)

somit ist injektivität doch gegeben...
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Für mich sind sowohl 1 + 2 als auch 2 + 1 genau 3. Big Laugh

Das hast Du übrigens oben selbst schon gesagt. Augenzwinkern



// Ach so, Du meinst, dass die Komponenten verschieden sind. Aber das ist doch gerade der Punkt: Die beiden verschiedenen Urbilder (1, 2) und (2, 1) werden demselben Bild 3 zugeordnet. Also ist die Funktion nicht injektiv.

// Den Begriff „x-Wert“ würde ich übrigens bei mehrstelligen Funktionen nicht mehr benutzen (wenn überhaupt). Denn was soll im obigen Fall der „x-Wert“ sein? Das ganze Paar? Die erste Komponente des Paars? Der Begriff ist einfach nicht mehr passend, wenn nicht bloß Zahlen auf Zahlen abgebildet werden.
sin(x²)= 99 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok beim zweiten wirds natürlich etwas schwieriger weil wir hier keine einfache Gleichung haben, naja für dich vllt schon hehe:

Also
intuitiv würd ich wieder sagen, dass die Funktion f injektiv ist, aber irgendwie versteh ich den Zusammenhang nicht von der linken Seite und der rechten Seite der Gleichung.....also:

man muss ja einfach ein Tupel bilden zb

f(1,0) = (1+2*0, 2*1-0)

f(1,0) = (1,2)

wie kann man denn so eine frage allgemein beantworten, also ohne einfaches probieren??
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst/musst die Injektivität in dem Fall formal überprüfen:



ist dasselbe wie





Setze also



und folgere daraus



bzw.






Es gibt auch geschicktere Ansätze mit Verkettungen (siehe die anderen Threads zu ähnlichen Aufgaben), aber ich würde einfach den obigen nehmen.
sin(x²)= 99 Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist mit Surjektivität???

Dürfte ja wohl vorliegen bei dem ersten und letzten Beispiel oder?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, auf jeden Fall.

Bei (1) kann man z. B. sagen:

x = x + 0 = f(x, 0)

Und bei (2):

x = x/1 = f(x, 1)
sin(x²)= 99 Auf diesen Beitrag antworten »

Liegt bei dem Beispiel m / n auch injektiv / surjektivität vor?

was ich noch nich so ganz verstehe ist, wie man allgemein an sowas herangeht und sich dann spezieller wird auf die sog. Beispiele..
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sin(x²)= 99

Liegt bei dem Beispiel m / n auch injektiv / surjektivität vor?


Injektiv ist die Funktion auf keinen Fall, weil die Bruchdarstellung einer Zahl ja nicht eindeutig ist.

Z. B. 1/2 = 2/4 = 4/8

und damit



Surjektiv ist die Funktion schon, wie ja oben gesagt.



Zitat:
Original von sin(x²)= 99

was ich noch nich so ganz verstehe ist, wie man allgemein an sowas herangeht und sich dann spezieller wird auf die sog. Beispiele..


Ich würde immer zuerst gucken, ob man die Injektivität/Nichtinjektivität und Surjektivität/Nichtsurjektivität vielleicht direkt „sehen“ kann. Bei der Summenfunktion f(x, y) = x + y ist ja beispielsweise sofort klar, dass wegen der Kommutativität immer f(a, b) = f(b, a) gilt, also die Funktion nicht injektiv ist.

Wenn die Funktion zu kompliziert ist oder man durch „Raten“ nicht weiterkommt, muss man die Eigenschaften formal überprüfen.
sin(x²)= 99 Auf diesen Beitrag antworten »

Das erste Beispiel soll surjektiv sein???


Meinst du die Wertemenge stimmt mit der Zielmenge überein??
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage hast Du schon im zwölften Beitrag gestellt, und ich hab mit ja geantwortet. Augenzwinkern

Bei einer beliebigen reellen Zahl x gilt x = x + 0 = f(x + 0), also liegt x in der Wertemenge.
sin(x²)= 99 Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich weiß, aber mich hat etwas verwirrt, und zwar haben wir ja herausgefunden dass es mehrere tupel gibt, die einen und den selben Funktionswert zugewiesen werden, somit könnte man meinen der Wertebereich ist größer wie der Zielbereich!


erklär mir mal bitte genau, dieses x in der Wertemenge, schritt für schrittAugenzwinkern

Können wir nicht einfach zeigen, dass f stetig ist?? somit auch differenzierbar und surjektiv^^ hehe
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sin(x²)= 99

ja ich weiß, aber mich hat etwas verwirrt, und zwar haben wir ja herausgefunden dass es mehrere tupel gibt, die einen und den selben Funktionswert zugewiesen werden, somit könnte man meinen der Wertebereich ist größer wie der Zielbereich!


Das kann man nicht sagen. Dass es eine nicht-injektive Funktion von A nach B gibt, sagt nichts über das Größenverhältnis zwischen A und B aus – weder bei endlichen noch bei unendlichen Mengen. Es ist alles möglich: A < B, A = B, A > B (die Beispiele kann man ja einfach selbst konstruieren).



Zitat:
Original von sin(x²)= 99

erklär mir mal bitte genau, dieses x in der Wertemenge, schritt für schrittAugenzwinkern


Eine Funktion



ist ja genau dann surjektiv, wenn es für jedes y aus B mindestens ein x aus A gibt, sodass f(x) = y. Also jedes Element von B tritt mindestens einmal als Funktionswert auf.


Bei der konkreten Funktion von (1) habe ich eine beliebige reelle Zahl y gewählt und dann gezeigt, dass es ein Paar (a, b) gibt, sodass f(a, b) = y. Und zwar das Paar (a, b) = (y, 0), denn f(y, 0) = y + 0 = y.
sin(x²)= 99 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn sich f als stetige funktion nachweisen lässt, kann man doch daraus folgern dass f surjektiv sein muss...

stimmt das?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, Stetigkeit reicht nicht aus für Surjektivität. Das kann auch deswegen nicht sein, weil Stetigkeit ja unabhängig von der Zielmenge ist; also die Surjektivität müsste auch dann noch erhalten bleiben, wenn man die Zielmenge vergrößert – aber es können keine neuen Funktionswerte aus dem Nichts kommen.

Oder als konkretes Gegenbeispiel: Die Funktion



ist stetig, aber natürlich nicht surjektiv.


Es gibt zwar Zusammenhänge zwischen Stetigkeit und Surjektivität (siehe z. B. der Zwischenwertsatz), aber keinen direkten.

Die Frage ist auch, ob man sich mit mehrdimensionaler Stetigkeit beschäftigen will, wenn der Surjektivitätsbeweis schon in einer Zeile erledigt ist. Big Laugh
sin(x²)= 99 Auf diesen Beitrag antworten »

ok dank dir jaques, das wär dann alles für heute, wieder was gelernt, ein gutes GefühlAugenzwinkern
sin(x²)= 99 Auf diesen Beitrag antworten »

ooops bei dem zweiten Beispiel haben wir aber ein Problem mit der Surjektivität, du hast es mir schon erklärt ich weiß, aber wir wollen ja nachweisen:

f(a,b) = y


nur leider haben wir hier eine Abbildung von R² -> R²

somit können wir nich zeigen, dass f(a,b) = y

was müssen wir bei dem zweiten beispiel genau zeigen?
Müssen wir zeigen, dass f(x,y) = (x,y) ist?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sin(x²)= 99

nur leider haben wir hier eine Abbildung von R² -> R²

somit können wir nich zeigen, dass f(a,b) = y


Ein einzelnes „y“ muss nicht unbedingt für eine Zahl stehen, es kann damit auch ein Paar gemeint sein. Aber besser wäre natürlich eine Schreibweise der Art (x, y).

Zu zeigen ist:

Zu jedem Paar (m, n) reeller Zahlen gibt es mindestens ein Paar (a, b) reeller Zahlen, sodass f(a, b) = (m, n)

[Ich habe m, n statt x, y genommen, damit man mit den Variablen x und y der Funktionsvorschrift nicht beim Einsetzen durcheinander kommt]


Du musst jetzt gucken, durch welche Operationen mit den Komponenten Du von einem Paar



wieder auf das Ausgangspaar (x, y) kommst.

Als Tipp (weil es langsam spät wird):

x erhältst Du, indem Du zu der ersten Komponente das Doppelte der zweiten addierst und das Gesamtergebnis durch 5 teilst.

y erhältst Du, wenn Du von dem Doppelten der ersten Komponente die zweite Komponente subtrahierst und dann die Differenz durch 5 teilst.

Zu einem Paar (m, n) ist also



das Urbild.
sin(x²)= 99 Auf diesen Beitrag antworten »

d.h wenn man dieses Urbild bilden kann, ist die funktion auf jeden fall surjektiv, okAugenzwinkern dank dir:P wie du drauf gekommen bist mit dem durch 5 teilen usw, klären wir ein anderes mal heheAugenzwinkern gut n8... Prost
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Nur nochmal zusammengefasst:


1)

Die Funktion ist surjektiv, aber nicht injektiv


2)

Die Funktion ist bijektiv


3)

Die Funktion ist surjektiv, aber nicht injektiv


Also dann gute Nacht. smile
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