Lipschitz-Bedingung

10.11.2009, 20:46

Max Simon

Lipschitz-Bedingung

Gegeben ist die Funktion

$\begin{eqnarray*} f: [0,1]^{2} \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\begin{cases} 2x, & \text{falls } -1 \leq y < 0\\ 2x-4\frac{y}{x}, & \text{falls }\ 0 \leq y < x^{2}\\ -2x, & \text{falls }\ x^{2} \leq y \leq 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Wir sollen zeigen, dass diese Funktion stetig ist, aber keine Lipschitz-Bedingung erfüllt.

Das mit der Stetigkeit hab ich hinbekommen, aber bei der Lipschitz-Bedingung komm ich nicht klar.

Wie kann man sowas zeigen?

Es muss gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray*} \forall L>0\ \exists x,y,y' \in [0,1]:\ |f(x,y)-f(x,y')|\leq L|y-y'| \end{eqnarray*}$ .

Man nehme also an, es gibt ein entsprechendes $\begin{eqnarray*} L>0 \end{eqnarray*}$ . Dieses $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ wird nun fixiert. Und jetzt muss ich $\begin{eqnarray*} x, y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ so bestimmen, dass dann die Lipschitz-Bedingung verletzt wird. Nur mir fällt da nichts ein.

Deswegen bitte ich um eure Hilfe.

Danke.

Lg Max

10.11.2009, 22:22

Abakus

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RE: Lipschitz-Bedingung
Hallo!

Zitat:

Original von Max Simon
Gegeben ist die Funktion

$\begin{eqnarray*} f: [0,1]^{2} \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\begin{cases} 2x, & \text{falls } -1 \leq y < 0\\ 2x-4\frac{y}{x}, & \text{falls }\ 0 \leq y < x^{2}\\ -2x, & \text{falls }\ x^{2} \leq y \leq 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Zuerst eine Verständnisfrage: wie kann y kleiner als 0 werden (erster Fall), der Definitionsbereich ist doch nichtnegativ?

Grüße Abakus smile

10.11.2009, 22:27

Max Simon

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RE: Lipschitz-Bedingung
Oh verdammt - ich hab mich verschrieben.

Hier richtig:

$\begin{eqnarray*} f: [-1,1]^{2} \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$

10.11.2009, 22:40

Abakus

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RE: Lipschitz-Bedingung
OK, das klärt es. Die Lösung hab ich auch nicht auf die Schnelle, denke aber, dass du die Grenzen zwischen den 3 Fällen untersuchen musst. Der Nullpunkt sieht besonders verdächtig aus. Was passiert da genau?

Grüße Abakus smile

edit: was mir noch auffällt, ist deine Lipschitz-Bedingung. Du hast diese nur bzgl. der zweiten Variablen, aber eigentlich lautet diese:

$\begin{eqnarray*} \text{ für alle } x_1, x_2 \in X : |f(x_1) - f(x_2)| \leq L \cdot |x_1 - x_2| \end{eqnarray*}$

Hast du also die richtige Bedingung hier?

10.11.2009, 23:50

Max Simon

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RE: Lipschitz-Bedingung
Ich muss nur die Lipschitz-Bedingung nach der 2. Variablen untersuchen

Was passiert im Nullpunkt?
Sobald mein y größer als 0 wird, kommt ein (negativer) Term zum Funktionswert hinzu. Dieser Term kann sehr groß werden, wenn x sehr klein wird.
Man sollte also ein von L abhängiges und entsprechend kleines x bestimmen und dann y < 0, sowie 0<y'<x wählen.
Dann könnte ich mir vorstellen, dass dieser Ansatz vlt zu einem Erfolg führt.

Kann das möglich sein?

11.11.2009, 00:20

Abakus

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RE: Lipschitz-Bedingung
Ja, dein Vorschlag sieht gut aus. Wie sieht es zB mit den Punkten $\begin{eqnarray*} (x, \frac 1 n \cdot x^2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x, - \frac 1 n \cdot x^2) \end{eqnarray*}$ aus?

Das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist dann noch zu wählen, das kann man nach Ausrechnen der beiden Seiten der Ungleichung?

Grüße Abakus smile

11.11.2009, 00:44

Max Simon

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RE: Lipschitz-Bedingung
Hm gefällt mir jetzt aber schon wieder nicht mehr soo der Vorschlag^^

Hier ne andere Idee:

Angenommen es gibt ein $\begin{eqnarray*} L>0 \end{eqnarray*}$ , sodass die Lipschitzbedingung erfüllt ist.

Fall 1: $\begin{eqnarray*} L>1 \end{eqnarray*}$

Dann wähle $\begin{eqnarray*} y=-\frac{1}{2L}, y'=\frac{1}{2L}, x=\frac{1}{L} \end{eqnarray*}$

Damit $\begin{eqnarray*} |f(x,y)-f(x,y')|=|2x-2x+4\frac{y'}{x}|=|4*0,5|=2>L|y-y'|=L|\frac{1}{2L}+\frac{1}{2L}|=L|\frac{1}{L}|=1 \end{eqnarray*}$

Dies ist ja ein gesuchter Widerspruch.

Das Problem ist, dass mir im fall $\begin{eqnarray*} 0<L<1 \end{eqnarray*}$ noch nichts einfällt.

11.11.2009, 00:51

Max Simon

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RE: Lipschitz-Bedingung
Ok jetzt hab ich doch auch den 2. Fall:

Sei $\begin{eqnarray*} 0<L \leq 1 \end{eqnarray*}$ .

Dann wähle $\begin{eqnarray*} y=-\frac{L}{2},y'=\frac{L}{2},x=1 \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} |f(x,y)-f(x,y')|=|2x-2x+4\frac{y'}{x}|=|2L|=2L > L \geq L^{2} = L|L| = L|\frac{L}{2}-(-\frac{L}{2})| = L|y-y'| \end{eqnarray*}$ .

Stimmt das?

11.11.2009, 23:11

Abakus

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RE: Lipschitz-Bedingung

Zitat:

Original von Max Simon
Ok jetzt hab ich doch auch den 2. Fall:

Sei $\begin{eqnarray*} 0<L \leq 1 \end{eqnarray*}$ .

Dann wähle $\begin{eqnarray*} y=-\frac{L}{2},y'=\frac{L}{2},x=1 \end{eqnarray*}$ .

L kannst du nicht wählen, L ist vorgegeben (Annahme ist L-stetig mit L-Konstante L). Du müsstest die betrachteten Punkte in Abhängigkeit von L wählen.

Zitat:

Dann ist $\begin{eqnarray*} |f(x,y)-f(x,y')|=|2x-2x+4\frac{y'}{x}|=|2L|=2L > L \geq L^{2} = L|L| = L|\frac{L}{2}-(-\frac{L}{2})| = L|y-y'| \end{eqnarray*}$ .

Stimmt das?

Ja, stimmt; aber hilft nichts zur Lösung. Die Idee ist aber ähnlich, wenn du deine Punkte in Abhängigkeit von L wählst.

Grüße Abakus smile

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