Berechnung von ImZ, ReZ, ArgZ, |Z|

10.11.2009, 20:57

Dalice66

Berechnung von ImZ, ReZ, ArgZ, |Z|

Moin Leute,
ich soll aus

$\begin{eqnarray*} v^6=-1+i \end{eqnarray*}$

ImV, ReV, |V| und Arg V berechnen.

Meine Lösungen sind:

$\begin{eqnarray*} |v|^6=\sqrt{-1^2+1^2} =\sqrt{2}| \sqrt[6]{...} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[12]{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Argv^6=\frac{3}{4} \pi+2k\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{3}{24} \pi+\frac{2}{6}k \pi \end{eqnarray*}$

k=0, denn laut Aufgabenstellung soll v im zweiten Quadranten liegen

also:

$\begin{eqnarray*} Argv=\frac{1}{8}\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v=\sqrt{2} (cos\frac{1}{8}\pi+isin \frac{1}{8}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V=1,307+1,307i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ReV=1,307, ImV1,307 \end{eqnarray*}$

Sind meine Ergebnisse richtig, oder muss ich noch 1/4 Pi des ersten Quadranten hinzuzählen, da bin ich mir jetzt nämlich nicht sicher.

10.11.2009, 22:56

tigerbine

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RE: Berechnung von ImZ, ReZ, ArgZ, |Z|
$\begin{eqnarray*} v^6=-1+i = \sqrt{2}\left(\cos(135°) + i \sin(135°)\right) \end{eqnarray*}$

Da gibt es 6 Lösungen. Du suchst die im zweiten Quadranten.

$\begin{eqnarray*} |v| = \sqrt[12]{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi=142.5° \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v=\sqrt[12]{2}(-0.7933 +0.6088i) \end{eqnarray*}$

Deine Lösung liegt doch im ersten Quadranten. verwirrt

10.11.2009, 23:07

Dalice66

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RE: Berechnung von ImZ, ReZ, ArgZ, |Z|
Moin,
ja, du hast Recht...Deswegen fragte ich ja nach (Pi/4)...

Also ist mein Wert, mit dem ich zu rechnen habe

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{8} \pi \end{eqnarray*}$ ,

gell?

10.11.2009, 23:12

tigerbine

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RE: Berechnung von ImZ, ReZ, ArgZ, |Z|
Ich habe den Winkel doch angegeben... Du musst als erstes die 135°/6 rechnen. Nun kommen als Varianten eben für k=0,1,2,...,5 die Addition von k/6*360° hinzu. Du brauchst dann k=2. Wie kommst du auf deinen Wert?

10.11.2009, 23:35

Dalice66

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RE: Berechnung von ImZ, ReZ, ArgZ, |Z|
Jo,
du hattest mir den Winkel vorgegeben. Ich ging folgendermaßen vor:

Die

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} \pi \end{eqnarray*}$

ergaben sich aus

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{24} \pi \end{eqnarray*}$

Nun hatte ich mir überlegt, dass ein Halbbkreis, der über den ersten und zweiten Quadranten geht,

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{8} \pi \end{eqnarray*}$

entspricht.

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{8}-\frac{1}{8} =\frac{3}{8} \end{eqnarray*}$

Da ich meiner Sache relativ sicher war, blieb ich beim Bogenmaß und somit bei den

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{8} \end{eqnarray*}$

Beim Nachrechnen habe ich außedem festgestellt, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{8}\pi \end{eqnarray*}$

genau 135° entsprechen

Die

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{8}\pi \end{eqnarray*}$

enstehen aber erst NACHDEM ich durch 6 geteilt hatte. Mein Denkfehler lag in der Tatsache begründet, dass ich den ersten Quadranten nicht hinzugezählt hatte. Dadurch ergeben sich natürlich andere Werte.

Ich denke, dass mein Rechenweg der richtige war, nur habe ich das Hinzuzählen des ersten Quadranten vergessen/nicht gemacht. Wollen wir uns darauf einigen?

Vielen Dank für deine Zahlen

smile

10.11.2009, 23:43

tigerbine

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RE: Berechnung von ImZ, ReZ, ArgZ, |Z|

Zitat:

Beim Nachrechnen habe ich außedem festgestellt, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{8}\pi \end{eqnarray*}$

genau 135° entsprechen

Das tun sie nicht. Ob nun in DEG oder RAD ist doch auch egal. $\begin{eqnarray*} v^6 \end{eqnarray*}$ liegt im zweiten Quadranten. Zugehöriger Winkel ist 135° oder 3/4 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ . Hast du denn mal ein Koordinatensystem gemalt und dort Punkte eingetragen?

Ferner verstehe ich nicht, was du mit "zuzählen" des ersten Quadranten meinst. Man muss das entsprechende k finden, damit in der Formel die Zahl eben in dem zweiten Quadranten liegt.

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