EV zu Spiegelung im euklidischen Raum

10.11.2009, 23:17	annameyer	Auf diesen Beitrag antworten »
EV zu Spiegelung im euklidischen Raum Kann einer von euch mir dabei helfen?... Gesucht sind alle EV einer allgemeinen Spiegelung im euklidischen Raum. Die EW einer diagonalisierbarer Spiegelung sind hier doch 1, -1, oder? und als Matrizen haben ich die üblichen Matrizen cos -sin sin cos cos sin sin -cos Aber was sind die Eigenvektoren dazu?
11.11.2009, 10:46	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Begriff "Spiegelung" in n-dimensionalen euklidischen Räumen kann auf verschiedene Weise definiert werden. Schau mal unter WIKIPEDIA beim Stichwort "Spiegelung" (Geometrie) nach. Man kann nämlich an Unterräumen verschiedener Dimension spiegeln. Hat man z.B. einen 4-dimensionen Raum, dann kann der "Spiegel" ein Raum der Dimension n=0 oder n=1 oder n=2 oder n=3 sein. Ich erkläre das mal in der Dimension n=2 (Ebene): Fall 1: Der Spiegel sei der Nullpunkt (0\|0). Dann spricht man von einer Punktspiegelung. Der "Spiegel" hat also die Dimension n=0. Dann lautet die Spiegelmatrix $\begin{eqnarray} S=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dadurch wird jeder Vektor $\begin{eqnarray} \vec x \end{eqnarray}$ auf den Vektor $\begin{eqnarray} -x \end{eqnarray}$ abgebildet, also $\begin{eqnarray} S \vec x=-x \end{eqnarray}$ . Man erhält den gespiegelten Vektor einfach durch Umkehr aller Vorzeichen der Komponenten des originalen Vektors. Wenn man unter Eigenvektoren alle diejenigen Vektoren versteht, die zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda=-1 \end{eqnarray}$ gehören, dann sind alle Vektoren Eignevektoren, denn für alle gilt $\begin{eqnarray} S \vec x=-x \end{eqnarray}$ Fall 2: Der Spiegel sei eine Gerade durch den Nullpunkt, welche mit der x-Achse den Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ einschließt. Daran soll ein Vektor gespiegelt werden, der mit der x-Achse den Winkel $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ einschließt. Dann macht man sich per Skizze schnell klar, dass der gespiegelte Vektor dejenige ist, der um den Winkel $\begin{eqnarray} 2 \cdot (\alpha - \beta) \end{eqnarray}$ gedreht wurde. Die Spiegelmatrix ist also folgende Drehmatrix $\begin{eqnarray} S=\begin{pmatrix} cos[2\cdot (\alpha-\beta)] & sin[2\cdot (\alpha-\beta)] \\ -sin[2\cdot (\alpha-\beta)] & cos[2\cdot (\alpha-\beta)] \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn man auch hier wie im Fall 1 unter Eigenvektoren alle diejenigen Vektoren versteht, die zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda=-1 \end{eqnarray}$ gehören, dann gilt dies laut Anschauung nur für diejenigen Vektoren, die senkrecht zur Spiegelgerade stehen, also $\begin{eqnarray} \alpha - \beta=90° \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \alpha - \beta=-90° \end{eqnarray}$ . Das sind alle Vektoren, die mit der x-Achse den Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ +90° oder $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ -90° einschließen. Mach mal eine Skizze. Dann wird alles klar.

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