Mengen

10.11.2009, 23:24

KUHlila

Mengen

Hallo,
so ich wollte gerade einer Bekannten bei einer Uniaufgabe helfen; mein Mathematik ist schon ne Weile her und ich bin mir bei der Sache nicht so ganz sicher und meine Neugier ist gewachsen:
1. Frage:
wenn ich zwei Mengen A={a} und B={A,B,C,D} gegeben habe und ich soll eine Lösungmenge für eine binäre Relation zwischen A und B finden, die auch noch zugleich eine Funktion ist. Wie geht das? Meine Idee war folgende:
eine Relation ist eine Teilmenge von A x B: also R⊆A x B
Dann hab ich das Produkt A x B gebildet: A x B = {(a,A) , (a,B), (a,C), (a,D)} Das heißt meine gesuchte Relation R, die zugleich auch noch Funkton sein soll muss eine Teilmenge von {(a,A) , (a,B), (a,C), (a,D)} sein, oder? Eine Funktion hat man wenn jedem Wert aus dem x-Wertebreich nur ein y-Wert zugewiesen ist. Dann wär meine Lösung für eine gesuchte mögliche Lösungsmenge F zum Beispiel: F={(a,A}
Lieg ich damit richtig oder eher Schmarrn? Ich hab mir halt gedacht, dass ich a nur einmal einen Wert zuweisen darf.

2. Frage:
kartesisches Produkt von drei Mengen: Wie wird das gebildet?
Beispiel: A={a}, B={a,b,c,d} und C={1,2}
A x B X C = {(a,a,1) , (a,a,2) , (a,b,1) , (a,b,2) , (a,c,1) , (a,c,2), (a,d,1) , (a,d,2)}
Lieg ich bei diesem Beispiel richtig?

3. Frage:
Was ist eine totale Funktion?

4. Frage:
Inwiefern kann man den Ausdruck A⊆B (A ist Teilmenge von B) als eine Relation verstehen? Ich dachte eine Relation ist eine Teilmenge von dem Produkt zweier Mengen, also R⊆A x B!
Meine Frage: Wenn ich A⊆B als eine Relation verstehen soll, wie definierte ich dafür einen Wertebereich? Ich habe keinen blassen Schimmer. Das würde mich echt interessieren. Tipp oder Lösungsvorschlag?

Vielen Dank schon mal im Vorraus!
KUHlila

10.11.2009, 23:47

Jacques

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Hallo,

Zu 1)

Deine Lösung ist korrekt. Man hätte sonst noch f = {(a, B)}, {(a, C)} oder {(a, D)} nehmen können. Das sind alle möglichen Lösungen.

Zu 2)

Ja, Du hast Recht.

Allgemein gilt

$\begin{eqnarray*} A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n = \{ (x_1, x_2, \ldots, x_n) \,|\, x_i \in A_i \textrm{ für alle } 1 \leqq i \leqq n \} \end{eqnarray*}$

Also es ist die Menge aller n-Tupel, bei denen die i-te Komponente ein Element der i-ten Menge ist.

Oder etwas einfacher geschrieben:

$\begin{eqnarray*} A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n = \{ (x_1, x_2, \ldots, x_n) \,|\, x_1 \in A_1, x_2 \in A_2, \ldots, x_n \in A_n \} \end{eqnarray*}$

Zu 4)

Nicht der Ausdruck

$\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$

ist eine Relation, sondern

$\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$

ist die Teilmengenrelation. Zwei Mengen A, B stehen genau ja genau dann in der Teilmengenrelation, wenn jedes Element von A auch Element von B ist.

Die Teilmengenrelation ist aber keine „normale“ Relation, weil man Wertebereich und Quellbereich nicht als Mengen angeben kann (die Menge aller Mengen existiert nicht).

// edit:

Der Begriff „totale Funktion“ kommt laut Wikipedia eher aus der Informatik und wird da zur Unterscheidung von „partiellen Funktionen“ (Elemente der Definitionsmenge dürfen ausgelassen werden) benutzt.

11.11.2009, 00:33

KUHlila

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vielen Dank für deine schnelle und präzise Antwort:

Zu 4 nochmal: In der besagten Aufgabe ist auch ein M (griechisches Zeichen oder so ...) angeben, das die Menge aller Mengen bezeichnen soll.
A⊆B (A ist Teilmenge von B): Heißt das jetzt, dass die Menge A den Definitionsbereich darstellt und B den Wertebereich? Dann wäre die Wertemenge die Menge B und zwar genauer definiert als die Menge aller Mengen M (griechishes geschwungenes Zeichen). Oder nicht?

Wenn ja, wie gebe ich diesen Wertebereich mathematisch korrekt an?

Vielen DANK!

11.11.2009, 01:00

Jacques

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Die Menge aller Mengen gibt es nicht, wie gesagt, weil das eine in sich widersprüchliche Idee ist. Es gibt nur die Klasse aller Mengen – wobei ich dazu nicht viel sagen kann, weil das eher „höhere Mengenlehre“ ist.

Definitions- und Wertebereich der Teilmengenrelation müsste dann genau die Klasse aller Mengen sein. Beachte: Definitions- und Wertebereich einer Relation sind jeweils die Gesamtheit aller Objekte, die zueinander in der Relation stehen können. Also bei der Kleiner-als-Relation „<“ wäre es R, bei $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ die Gesamtheit aller Mengen.

Wenn man eine spezielle Teilmengenbeziehung

$\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$

betrachtet, sind A und B nicht Definitions- und Wertbereich, sondern zwei Elemente dieser Bereiche. So wie man bei der <-Relation einzelne Zahlen miteinander in Beziehung setzen kann wie etwa bei 3 < 4 oder 5 < 6.

// Nur noch als Hinweis:

Weil das ja eher Einstiegsaufgaben zu sein scheinen, soll man bei der Teilmengenaufgabe sicher keine tiefe Mengentheorie betreiben, sondern nur kurz erläutern, warum die Teilmengenrelation eine „Beziehung“ ist (sie ordnet Mengen einander zu u. s. w.)

11.11.2009, 01:13

KUHlila

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Okay dankeschön: Soweit verstanden: Nur leider wissen wir jetzt immer noch nicht, was die Aufgabe dann als Lösung verlangt:
Deswegen der Wortlaut:

Die Eigenschaften von Mengen und Beziehungen zwischen Mengen lassen sich auch als Relationen auffassen:

-M Ist Teilmenge von N (aus a Element M folgt a Element N)
-M ist ist echte Teilmenge von N
-Vereinigung von M und N

Geben sie jeweils den Wertebreich dieses Relationen an. M soll die Menge aller Mengen bezeichnen.

Was wäre mathematisch eine korrekte Angabe des Wertebreichs?

11.11.2009, 01:22

Jacques

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Wenn es so da steht, dann ist die „Menge aller Mengen“ der Definitions- und Wertebereich (Du musst dann dieses geschwungene M aufschreiben).

Mathematisch korrekt ist die Aufgabe zwar nicht, aber das muss sie wohl auch nicht sein. ;-)

12.11.2009, 10:17

KUHlila

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Noch eine Frage:

Was ist denn nun eigentlich der Unterschied zwischen Schnittmenge und Teilmenge?
M ist Teilmenge von N, wenn aus a Element M folgt dass auch a Element N ist. Das selbe trifft doch auch auf die Schnittmenge zu? oder kann mit jemand den Unterschied erklären?

Danke!

12.11.2009, 11:48

Jacques

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Hallo,

Du verwechselst Objekttypen:

Der Begriff „Teilmenge“ bezieht sich auf eine Relation, auf eine Beziehung zwischen zwei Mengen. So wie man bei Zahlen a, b sagen kann, dass a kleiner als b ist, so kann man bei Mengen A, B sagen, A sei Teilmenge von B.

Die Schnittmenge ist dagegen das Ergebnis einer Verknüpfung. So wie man zwei Zahlen addieren kann und die Summe als neue Zahl erhält, so kann man zwei Mengen zur Schnittmenge verknüpfen.

Natürlich kann man das Ergebnis einer Verknüpfung auch wieder in Beziehung zu anderen Objekten setzen. Also die Summe zweier Objekte kann z. B. kleiner als eines der beiden Ausgangsobjekte sein. Und der Durchschnitt zweier Mengen kann eine Teilmenge eines der beiden Ausgangsmengen sein (und ist es auch immer).

Also $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ gehört zum Typ $\begin{eqnarray*} +, -, \cdot, :, \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ gehört zum Typ $\begin{eqnarray*} \leqq, \geqq, <, >, \ldots \end{eqnarray*}$

12.11.2009, 12:19

KUHlila

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ok danke, das hab ich verstanden:
Meine eigentliche Aufgabe hab ich immer noch nicht verstanden:

Gegeben ist folgende Relation: M vereinigt N:
Und ich soll den Wertebereich bestimmen? Allgmein! Ich versteh das nicht.

Selbiges mit M geschnitten M, Differenz und so weiter.... Wie funktioniert das?

Was genau ist in diesem Fall der Wertebereich?

Es wird hier ja zum Beispiel bei M vereinigt N doch die Menge M auf N abgebildet, oder?

12.11.2009, 14:39

Jacques

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Die Aufgabe ist, ehrlich gesagt, sehr schlampig und verwirrend formuliert. Das mit der Vereinigung ist wahrscheinlich so gemeint:

Man kann zweistellige Verknüpfungen wie $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ oder eben $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ auch als Zuordnungen (also Relationen) auffassen, die jeweils einem Paar von Objekten ein drittes Objekt (das Ergebnis der Verknüpfung) zuordnen. Dann wird $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ also zu einer Zuordnung, die beispielsweise dem Paar (1, 2) die Zahl 3 zuordnet, dem Paar (4, 10) die Zahl 14 u. s. w. . Und $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ wird eine Zuordnung, die je zwei Mengen A und B die Menge C aller in A oder B vorkommenden Elemente zuordnet.

Man kann also $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ als Relation

$\begin{eqnarray*} \cup \subseteq (\mathcal{M} \times \mathcal{M}) \times \mathcal{M} \end{eqnarray*}$

interpretieren, d. h. als Relation, die Paaren von Mengen wieder Mengen zuordnet (das verschnörkelte M steht für die „Menge aller Mengen“).

Beachte: $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ als Relation interpretiert ist keine Relation zwischen zwei Mengen (wie etwa die Teilmengenbeziehung), sondern eine Relation zwischen einem Paar von zwei Mengen und einer dritten Menge (dem Ergebnis der Verknüpfung).

12.11.2009, 15:27

KUHlila

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Ok danke langsam wirds. Aber was genau wär jetzt bei dem Beispiel Vereinigungsmenge, die Wertemenge?

12.11.2009, 15:33

Jacques

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Auch wieder die Menge aller Mengen. Bei der Zielmenge ist ja jede Menge von der Relation betroffen, weil sich jede Menge M als Vereinigung zweier Mengen darstellen lässt:

$\begin{eqnarray*} M = M \cup \varnothing \end{eqnarray*}$

12.11.2009, 15:46

KUHlila

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ok also ich versuchs mal, aber ich find die Aufgabenstellung echt BESCHEIDEN! Das verwirrt total. Aber ich versuchs mal und hoffe dass mich jemand verbessern kann oder die richtigen Lösungen geben kann:
Alle Bezeichnungen sollen in der Aufgabe als Relation interpretiert werden, und der Wertebereich soll bestimmt werden + Eigenschaften:
1. M ist Teilmenge von N: Wertebreich: M (Menge aller Mengen) oder R x R (kart. Produkt der Menge der rationalen Zahlen) , reflexiv und symmetrisch

2. M ist echte Teilmenge von N: Wie oben nur M ungleich N

3. Vereinigung von M und N: Wertebreich (M x M) x M oder R? Eigenschaften?

4. Schnittmenge von M und M: Wertebereich: wie bei 3.

M\N Wertebreich wie bei 3. und 4. Eigenschaften?

5. Karndinalität von M: Wertebereich N mit o (natürliche Zahlen mti 0)

12.11.2009, 16:17

Jacques

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Zitat:

Original von KUHlila

1. M ist Teilmenge von N: Wertebreich: M (Menge aller Mengen) oder R x R (kart. Produkt der Menge der rationalen Zahlen) , reflexiv und symmetrisch

Das ist nicht richtig. Wenn RxR (die Menge der reellen Zahlenpaare!) die Wertemenge der Relation wäre, dann hieße das, $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ ist eine Relation zwischen Zahlen. Also dann könnte man z. B. schreiben

$\begin{eqnarray*} 3 \subseteq 1 \end{eqnarray*}$

Das kann natürlich nicht sein, es ist ja in Wahrheit eine Relation zwischen Mengen. Daher muss $\begin{eqnarray*} \mathcal{M} \end{eqnarray*}$ die Wertemenge sein.

Die Teilmengenrelation ist nicht symmetrisch, denn z. B. ist {1, 2} eine Teilmenge von {1, 2, 7}, aber die umgekehrte Beziehung gilt nicht, {1, 2, 7} ist keine Teilmenge von {1, 2}. Die Relation ist aber antisymmetrisch.

Und noch zum Begriff „Wertebereich“: Wie habt Ihr den definiert? Ich kenne die Wertemenge einer Relation R von A nach B als die Menge aller Elemente y von B, für die es ein Element von x A gibt, sodass x R y. Aber Ihr scheint darunter etwas anderes zu verstehen.

Zitat:

Original von KUHlila

2. M ist echte Teilmenge von N: Wie oben nur M ungleich N

Und was sind dann die Wertemenge und die Eigenschaften?

Zitat:

Original von KUHlila

3. Vereinigung von M und N: Wertebreich (M x M) x M oder R? Eigenschaften?

Wie kommst Du auf R? Man kann doch keine reellen Zahlen vereinigen, sondern nur Mengen.

Zitat:

Original von KUHlila

5. Karndinalität von M: Wertebereich N mit o (natürliche Zahlen mti 0)

Wenn man nur die Kardinalität endlicher Mengen betrachtet, hast Du Recht.

Zu den anderen Aufgaben hattest Du noch keinen Ansatz geschrieben...

12.11.2009, 21:12

KUHlila

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ja unter der Wertemenge kenn ich eigentlich die selbe Definition. Wie gesagt ich finde die Aufgabe sehr bescheiden, weil es total verwirrend ist. Und ich versteh auch nicht wie man bei den Relationen genau auf die Eigenschaften kommen soll.
Per Definition ist symmetrisch wenn für alle x,y Element M gilt: xRy folgt yRx ! Ich hab nicht wirklich viel Ahnung wie ich das auf die Teilmengenrelation übertragen soll! Was wäre im Falle der Teilmengenrelation M und was x und y? Aber nochmal meine Vermutungen, aber ich hab dann bald eh keine Lust mehr ... Wäre ttotzdem nochmal dankbar um eine Korrektur meiner "Vermutungen"!
Also nochmal die Aufgabe: Die Eigenschaften von Mengen und Beziehungen zwischen Mengen lassen sich auch als Relationen auffassen. Wertebereich angeben und Eigenschaft angeben.

1. M ist Teilmenge von N:
Meine Lösung: W(wertemenge)=M(Menge aller Mengen)
antisymmetrisch

2. M ist echte Teilmenge von N:
Meine Lösung: W=M(Menge aller Mengen) und M unglich N
antisymmetrisch

3. M vereinigt N
Meine Lösung: W=(M x M) x M transitiv und alternativ

4. M ist geschnitten N
Meine Lösung: W=(M x M) xM alternativ

5. Differenz M ohne N:
Meine Lösung: W=(M x M) xM , keine Eigenschaft trifft zua

6. Kadinalität von M
W=N(natürliche Zahlen) mit O für M endliche Menge
Eigenschaft? versteh ich nicht, weil wo ist da die Relation?

Vielen Dank für die super Hilfe hier!!! Das ist wirklich sehr sehr sehr gut!

12.11.2009, 22:04

Jacques

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Zitat:

Original von KUHlila

ja unter der Wertemenge kenn ich eigentlich die selbe Definition.

OK. Ich hatte mich nur gewundert, warum Du speziell die Wertemenge angeben sollst. „Interessanter“ wäre ja eigentlich die Angabe, auf welche Grundmengen sich die Relation überhaupt bezieht (also zwischen welchen Objektbereiche die Relation stattfindet).

Zitat:

Original von KUHlila

Und ich versteh auch nicht wie man bei den Relationen genau auf die Eigenschaften kommen soll.
Per Definition ist symmetrisch wenn für alle x,y Element M gilt: xRy folgt yRx ! Ich hab nicht wirklich viel Ahnung wie ich das auf die Teilmengenrelation übertragen soll! Was wäre im Falle der Teilmengenrelation M und was x und y?

Die Teilmengenrelation ist eine Relation zwischen Mengen. Also stehen x und y in diesem Fall für zwei Mengen.

Ich würde mir die Eigenschaften auch inhaltlich klar machen: Symmetrie heißt, dass jede Beziehung immer in beiden „Richtungen“ gilt. Also wenn x mit y in der Beziehung R steht, dann auch umgekehrt y mit x. Ein Beispiel wäre die Parallelitätsrelation zwischen Geraden: Wenn eine Gerade g parallel zu einer Geraden h ist, dann natürlich auch g zu h. (Man kann symmetrische Relationen auch als richtungslose Relationen interpretieren; zwei Objekte stehen immer zueinander in der Relation).

Zitat:

Original von KUHlila

1. M ist Teilmenge von N:
Meine Lösung: W(wertemenge)=M(Menge aller Mengen)
antisymmetrisch

Richtig. Und transitiv ist die Teilmengenrelation! Wenn A Teilmenge von B ist und B wiederum Teilmenge von C, dann ist auch A Teilmenge von C.

Zitat:

Original von KUHlila

2. M ist echte Teilmenge von N:
Meine Lösung: W=M(Menge aller Mengen) und M unglich N
antisymmetrisch

Richtig. Die Relation ist sogar asymmetrisch.

Zitat:

Original von KUHlila

3. M vereinigt N
Meine Lösung: W=(M x M) x M transitiv und alternativ

Die Wertemenge ist M, nicht (M x M) x M. Die Relation geht zwar von M x M nach M, aber man soll ja die Wertemenge betrachten.

Eigenschaften wie Transivitität, Alternativität u. s. w. gelten nie, wenn die Relation zwischen verschiedenen Grundmengen stattfindet – und ergeben dann auch keinen richtigen Sinn. Denn bei diesen Eigenschaften setzt man ja immer voraus, dass die Relation auch in umgekehrter Richtung gelten kann, also ein Objekt der „rechten“ Grundmenge mit einem der „linken“ Grundmenge in der Relation stehen kann (ist R eine Relation von A nach B, kann man A als „linke“ und B als „rechte“ Grundmenge sehen).

Bei Relationen mit verschiedenen Grundmengen geht es um Eigenschaften wie Totalität, Eindeutigkeit u. s. w.

Zitat:

Original von KUHlila

4. M ist geschnitten N
Meine Lösung: W=(M x M) xM alternativ

5. Differenz M ohne N:
Meine Lösung: W=(M x M) xM , keine Eigenschaft trifft zua

Dasselbe Problem wie bei der Aufgabe zuvor: Die Wertemenge ist M, und Du überprüfst die falschen Eigenschaften.

Zitat:

Original von KUHlila

6. Kadinalität von M
W=N(natürliche Zahlen) mit O für M endliche Menge
Eigenschaft? versteh ich nicht, weil wo ist da die Relation?

Eine Menge M steht genau dann in der Kardinalitätsrelation mit einer natürlichen Zahl n, wenn M die Kardinalität n hat. Wenn man die Relation „K“ nennt, dann gilt z. B.

$\begin{eqnarray*} \{5, 18, 29 \} \mathbin{K} 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \{0, 1 \} \mathbin{K} 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \{1, 2, \ldots, 5 \} \mathbin{K} 5 \end{eqnarray*}$

Lies die Relation als „hat die Kardinalität“. Also {1, 2} „hat die Kardinalität“ 2.

13.11.2009, 12:59

KUHlila

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OK. Ich glaub ich nerv langsam, aber des is echt problematisch die Aufgabe:

NOchmal ne Frage zur Kardinaltiät:

Ich betrachte nun " die Kardinaltiät von M" als eine Relation: dann wär doch die Wertemenge eine Menge x den natürlich Zahlen mti 0! Also W=M x N mit O!
Die Relation kann nicht symmetrisch sein, da man die Mengen nicht austauschen kann.

13.11.2009, 13:45

Jacques

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Zitat:

Original von KUHlila

Ich betrachte nun " die Kardinaltiät von M" als eine Relation: dann wär doch die Wertemenge eine Menge x den natürlich Zahlen mti 0! Also W=M x N mit O!

Du wendest die Definition der Wertemenge nicht richtig an bzw. wechselst die Definition immer wieder.

Nur nochmal, um die Begriffe festzulegen:

Eine Relation ist eine Zuordnung, die Elementen einer Menge A bestimmte Elemente einer Menge B zuweist. Mathematisch interpretiert: Eine Relation ist eine Struktur aus zwei Mengen A und B („Quellmenge“ und „Zielmenge“) und einer Teilmenge von AxB (auch „Graph“ genannt). Aus der Zielmenge B bildet man die „Wertemenge“: Man fasst alle diejenigen Elemente y von B zusammen, für die es ein Element x von A gibt, sodass x in Relation mit y steht (oder in Kurzform: In der Wertemenge liegen alle Elemente der Zielmenge, die an der Relation tatsächlich beteiligt sind, mit denen also irgendein Element der Quellmenge in der Relation steht).

Als Beispiel die Kardinalitätsrelation: Die Relation geht definitionsgemäß von der „Menge aller Mengen“ in die Menge der natürlichen Zahlen mit 0. Also ist $\begin{eqnarray*} \mathcal{M} \end{eqnarray*}$ („Menge aller Mengen“) die Quellmenge und $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}_0 = \{ 0, 1, 2, \ldots \} \end{eqnarray*}$ die Zielmenge. Gesucht ist die Wertemenge, in der genau diejenigen natürlichen Zahlen liegen, die tatsächlich Elementzahl irgendeiner Menge sind. Diese Wertemenge ist die komplette Zielmenge, also

$\begin{eqnarray*} W = \mathbb{N}_0 = \{ 0, 1, 2, \ldots \} \end{eqnarray*}$

Wie gesagt, die Wertemenge ist definiert als eine bestimmte Teilmenge der Zielmenge. Es muss in diesem Fall also eine Menge von natürlichen Zahlen sein (nicht irgendwas mit ... x N0)

Zitat:

Original von KUHlila

Die Relation kann nicht symmetrisch sein, da man die Mengen nicht austauschen kann.

Ich muss meine Meinung von vorher ein bisschen korrigieren: Eigenschaften wie Symmetrie, Transitivität u. s. w. ergeben bei Relationen mit verschiedener Quell- und Zielmenge generell keinen Sinn. Es sind Eigenschaften, die ausschließlich für Relationen mit identischer Quell- und Zielmenge formuliert sind.

Also wenn Quell- und Zielmenge nicht identisch sind, dann kann man die Eigenschaften einfach nicht anwenden, sie sind undefiniert (und nicht etwa nicht erfüllt!). Es ist so, als wollte man eine Zahl auf Surjektivität prüfen.

Bei verschiedener Quell- und Zielmenge kann man prüfen, ob die Relation linkstotal, rechtstotal, linkseindeutig oder rechtseindeutig ist.

14.11.2009, 20:55

fliflaflu

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Also zum allgemeinen Verständnis nochmal:

M' := Menge aller Mengen
-> M, N Teilmengen von M'
Es soll der Wertebereich W und die zutreffenden Eigenschaften angegeben werden (reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, transitiv, alternativ)

M Teilmenge von N: W = M'
M echte Teilmenge von N: W = M'
Vereinigung von M und N: W = M'
Schnittmenge von M und N: W = M
Differenz M ohne N: W = M
M und N sind disjunkt: W = {}
Kardinalität einer Menge M: W = Natürliche Zahlen mit 0 (warum eigentlich 0? selbst die Leere Menge zählt doch, oder? )

Und die Eigenschaften sind also nur für die Teilmenge und Echte Teilmenge, anwendbar !? Das macht doch die ganze Aufgabe unsinnig oder?

15.11.2009, 05:30

Jacques

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Zitat:

Original von fliflaflu

M' := Menge aller Mengen
-> M, N Teilmengen von M'

M und N müssen Elemente von M' sein.

Zitat:

Original von fliflaflu

M und N sind disjunkt: W = {}

Nein, die leere Menge kann nicht Werte- oder Zielmenge einer Relation sein. Und es ergibt auch inhaltlich keinen Sinn, denn es existieren doch sehr wohl disjunkte Mengen. Die Wertemenge muss also schon in der Hinsicht nichtleer sein.

Zitat:

Original von fliflaflu

Kardinalität einer Menge M: W = Natürliche Zahlen mit 0 (warum eigentlich 0? selbst die Leere Menge zählt doch, oder? )

Die leere Menge hat die 0 als Kardinalität.

Zitat:

Original von fliflaflu

Und die Eigenschaften sind also nur für die Teilmenge und Echte Teilmenge, anwendbar !? Das macht doch die ganze Aufgabe unsinnig oder?

Die Eigenschaften sind anwendbar bei allen homogenen Relationen (Quell- und Zielmenge stimmen überein). Also bei der Teilmengenrelation, der Relation „ist echte Teilmenge von“ und der „Disjunktheitsrelation“.

Bei allen anderen Relationen ist die Aufgabe sinnlos. Wobei ich mittlerweile den Verdacht habe, der Aufgabensteller kann die Begriffe selbst nicht auseinanderhalten. Augenzwinkern

15.11.2009, 12:40

fliflaflu

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vielen dank für die schnelle antwort!

Was mir aber noch nicht so wirklich einleuchtet:

1. Warum ist bei "M ist Teilmenge von N" der Wertebereich die 'Menge aller Mengen' und nicht N selbst ? (bzw. Wertebereich Teilmenge von N)

2. Und worin liegt dann der unterschied zwischen "M Teilmenge von N" und "M Echte Teilmenge von N" ? (bezüglich Wertebereich)

3. Zum Begriff der homogenen Relationen: "Quell- und Zielmenge stimmen überein". Aber ich denke die Mengen Stimmen ja eben nicht überein, deswegen ja M und N als Mengenbezeichnung und nicht M und M , oder? Wenn nein, was sind dann konkret Quell- und Zielmenge?

Danke schon mal im Vorab

16.11.2009, 17:03

Jacques

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Hm, meiner Meinung nach ist Dir der Relationsbegriff noch nicht ganz klar:

Eine Relation ist eine „Beziehungsart“, die zwischen jeweils einem Objekt eines Bereichs A und einem Objekt eines anderen Bereichs B gelten kann. Als Beispiel die Relation ‚ist befreundet mit‘: Da wären beide Bereiche A und B die Gesamtheit aller Menschen, denn die Relation bezieht sich ja auf Menschen. Mathematisch formuliert ist die Relation ‚ist befreundet mit‘ also eine Relation von der Menge aller Menschen nach der Menge aller Menschen, das heißt, die Menge aller Menschen ist sowohl Quell- als auch Zielmenge. Man kann bei der Relation natürlich auch einzelne Beziehungen betrachten und z. B. feststellen, dass Peter mit Paul befreundet ist. Aber Peter und Paul sind einzelne Objekte aus Quell- und Zielmenge, nicht die Mengen selber!

Genauso bei der Teilmengenrelation: Die Relation hat die Menge aller Mengen als Quell- und Zielmenge. Man kann jetzt einzelne Mengen betrachten und z. B. sagen, dass {1, 4} eine Teilmenge von {1, 4, 6} ist. Aber das macht {1, 4} und {1, 4, 6} nicht zu Quell- und Zielmenge der Relation. Sondern man betrachtet hier nur zwei einzelne Objekte aus den Mengen.

Zitat:

Original von fliflaflu

1. Warum ist bei "M ist Teilmenge von N" der Wertebereich die 'Menge aller Mengen' und nicht N selbst ? (bzw. Wertebereich Teilmenge von N)

Siehe oben: Weil die Teilmengenrelation die Menge aller Mengen als Quell- und Zielmenge hat. Und die Wertemenge ist eine Teilmenge der Zielmenge.

Zitat:

Original von fliflaflu

2. Und worin liegt dann der unterschied zwischen "M Teilmenge von N" und "M Echte Teilmenge von N" ? (bezüglich Wertebereich)

Es gibt keinen Unterschied. Beide Relationen sind rechtstotal, d. h., jedes Element der Zielmenge ist an der Relation „beteiligt“. Für jedes y aus der Zielmenge gibt es ein x aus der Quellmenge, sodass x in der Relation mit y steht.

Zitat:

Original von fliflaflu

3. Zum Begriff der homogenen Relationen: "Quell- und Zielmenge stimmen überein". Aber ich denke die Mengen Stimmen ja eben nicht überein, deswegen ja M und N als Mengenbezeichnung und nicht M und M , oder? Wenn nein, was sind dann konkret Quell- und Zielmenge?

Du verwechselst wieder Quell- und Zielmenge mit einzelnen Objekten aus diesen Mengen. Wenn Quell- und Zielmenge identisch sind, heißt das nur, dass die Relation zwischen Objekten desselben Typs besteht. Es heißt nicht, dass jedes Objekt nur mit sich selber in der Relation steht o. ä.

Die Relation ‚<‘ (kleiner als) ist z. B. auch eine homogene Relation (R ist Quell- und Zielmenge). Aber dennoch gilt 3 < 4 und nicht 3 < 3.

Zu Quellmenge (Q) und Zielmenge (Z) der einzelnen Relationen:

(1) Teilmengenrelation: Q = Z = Menge aller Mengen

(2) Echte-Teilmenge-von-Relation: wie bei (1)

(3) Vereinigungsrelation: Q = Menge aller Mengen x Menge aller Mengen, Z = Menge aller Mengen

(4) Durchschnittsrelation: wie bei (3)

(5) Differenzsrelation: wie bei (3)

(6) Disjunktheitsrelation: wie bei (1)

(7) Kardinalitätsrelation: Q = Menge aller Mengen, Z = N

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