Untervektorraum beweise, Basis finden

11.11.2009, 10:15

FauleRatte

Untervektorraum beweise, Basis finden

Hi,

ich hab bei folgender Aufgaben ein Problem.
Sei n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ \ {0}.
a) Zeigen Sie, dass
U :={(r1, r2, . . . , r $\begin{eqnarray*} _n \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R^{n}|\sum_{i=1}^n~r_i \end{eqnarray*}$ = 0}
ein R-Untervektorraum von Rn ist.

b) Geben Sie eine Basis von U an und bestimmen Sie die Dimension dim $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ (U).

Als Ansatz habe ich bei a schonmal, dass die Bedingung U $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ leere Menge erfüllt ist, da die Summe aller ja 0 ergibt und somit ein Element vorhanden ist.
Ich weiß aber nicht, wie ich a+b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ *a $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U beweisen soll.

11.11.2009, 10:25

Jacques

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Hallo,

Wenn $\begin{eqnarray*} a, b \in U \end{eqnarray*}$ , dann gilt

$\begin{eqnarray*} a = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = (y_1, y_2, \ldots, y_n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n x_k = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n y_k = 0 \end{eqnarray*}$

Nachzuweisen ist dann, dass auch

$\begin{eqnarray*} a+b = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \ldots, x_n + y_n) \in U \end{eqnarray*}$

gilt bzw.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n x_k + y_k = 0 \end{eqnarray*}$

11.11.2009, 10:53

FauleRatte

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Gut, danke.

Wäre der Beweis so also richtig?

a,b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U
a = ( $\begin{eqnarray*} x_1,...,x_n \end{eqnarray*}$ )
b = ( $\begin{eqnarray*} y_1,...,y_n \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~x_k = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~y_k = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 0 = \sum_{k=1}^n~x_k + \sum_{k=1}^n~y_k= \sum_{k=1}^n~x_k+y_k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a+b = (x_1+y_1,...,x_n+y_n) \in U \end{eqnarray*}$

Und für die Multiplikation müsste es ja dann so gehen,

a $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U, $\begin{eqnarray*} \alpha \in \end{eqnarray*}$ K
a = ( $\begin{eqnarray*} x_1,...,x_n \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~x_k = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 0 = \alpha*(\sum_{k=1}^n~x_k)= \sum_{k=1}^n~\alpha(x_k)=\sum_{k=1}^n~\alpha_k(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \alpha*a = (\alpha x_1,...,\alpha x_n) \in U \end{eqnarray*}$

Könnte bei b) U selbst die Basis sein?

11.11.2009, 11:01

Jacques

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Der Beweis ist richtig. Freude

Nur bei der vorletzten Zeile hast Du Dich irgendwie vertippt: Die letzte Summe muss natürlich

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \alpha x_k \end{eqnarray*}$

lauten, nicht

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \alpha_k x \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von FauleRatte

Könnte bei b) U selbst die Basis sein?

Das ergibt keinen Sinn, ein Vektorraum kann doch keine Basis sein. Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.

Beachte: In U liegen genau diejenigen Vektoren (r1, r2, ..., rn), welche die Gleichung

$\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 + \ldots + x_n = 0 \end{eqnarray*}$

erfüllen. Die Dimension der Lösungsmenge ist also die Dimension von U.

11.11.2009, 11:07

FauleRatte

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Zitat:

Original von Jacques
Der Beweis ist richtig. Freude

Ja, ist mir auch danach aufgefallen. Sollte mich vielleicht ma anmelden, damit ich bearbeiten kann )

Zitat:

Original von FauleRatte

Könnte bei b) U selbst die Basis sein?

Das ergibt keinen Sinn, ein Vektorraum kann doch keine Basis sein. Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.

Beachte: In U liegen genau diejenigen Vektoren (r1, r2, ..., rn), die das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 + \ldots + x_n = 0 \end{eqnarray*}$

erfüllen. Die Dimension der Lösungsmenge ist also die Dimension von U.[/quote]

Ok, stimmt. Ich sollte vielleicht erst denken und dann schreiben Augenzwinkern

11.11.2009, 11:45

Jacques

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Wenn Du schon die Lösung hast, kannst Du sie ja einfach hier reinschreiben. smile

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