Kathetenlängenunterschied berechnen

11.11.2009, 12:31

armer_student

Kathetenlängenunterschied berechnen

Hallo alle zusammen,
ich habe heute in unsrer Mathe-Didaktik folgende Aufgabe erhalten:

Die Terme $\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{2} +1)^{2n+1}-(\sqrt{2} -1)^{2n+1}}{4}-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{2} +1)^{2n+1}+(\sqrt{2} -1)^{2n+1}}{2\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$ liefern für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ (element) $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ die Maßzahlen der kürzeren Kathete und der Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Um wie viel unterscheiden sich die Katheten?

Diese Aufgabe soll mit einem CAS gelöst werden (möglichst Derive, ich bevorzuge aber Mathematica). Deswegen habe ich zuerst zwei Variablen k1 und h die obigen Terme zugewiesen und anschließend eine Variable k2 definiert als $\begin{eqnarray*} k2=\sqrt{h^{2}-k1^{2}} \end{eqnarray*}$ . Dies ergab schonmal einen recht hässlichen Term (ich bin zu faul ihn nochmal explizit hier abzuschreiben). Zuletzt habe ich dann einfach die Differenz $\begin{eqnarray*} k2-k1 \end{eqnarray*}$ gebildet was ja dann die gesuchte Differenz sein sollte. Das Ergebnis das mir Mathematica dann stolz präsentiert habe ich in den Anhang gepackt.

Das kann natürlich alles sein, wir sollten es ja immerhin mit einem CAS berechnen. Trotzdem kommt mir das Ergebnis spanisch vor. Habe ich irgendwo einen Denkfehler in meiner Überlegung? Wer ihn findet darf ihn behalten, mir aber trotzdem bescheid sagen Augenzwinkern

Danke schonmal im Vorraus,
Benedikt

11.11.2009, 12:35

armer_student

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hmm das hat er wohl nicht übernommen den anhang. hier also nochmal:

Edit (mY+): Nein, Links zu externen Uploadseiten werden entfernt. Du kannst dein Bild im Beitrag unter "Dateianhänge" direkt hochladen.

// edit: also einen fehler hab ich grad selber entdeckt in der definition von h. da ist mir wohl ein minus statt einem plus reingerutscht. das neue ergebnis ist aber auch nicht schöner:

[attach]11915[/attach]

11.11.2009, 14:18

riwe

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ohne CAS nur mit dem richtigen verdacht und dann zu fuß,
vermutlich ist der vorschlag eine didaktische falle smile

$\begin{eqnarray*} d=|a-b|=1 \end{eqnarray*}$

11.11.2009, 15:09

armer_student

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hallo riwe,
danke für deine antwort, nur leider kann ich mit deinem post nicht viel anfangen? von was für einem verdacht redest du? was wird zu fuß gemacht, und was sind d, a und b?

11.11.2009, 15:28

riwe

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Zitat:

Original von armer_student
hallo riwe,
danke für deine antwort, nur leider kann ich mit deinem post nicht viel anfangen? von was für einem verdacht redest du? was wird zu fuß gemacht, und was sind d, a und b?

wozu nennt sich denn das ganze: mathe- DIDAKTIK geschockt

1) das ist doch keine aufforderung, das denken dem CAS zu überlassen smile

auch wenn es fast so ausschaut Augenzwinkern

üblicherweise lautet der satz des pythagoras:

$\begin{eqnarray*} a^2+b^2 = c^2 \end{eqnarray*}$

was sind nun wohl a und b verwirrt

$\begin{eqnarray*} d(ifferenz) =|a-b| \end{eqnarray*}$

2) der verdacht, die (zu beweisende) vermutung:

wenn die formel für kürzere kathete a lautet:

$\begin{eqnarray*} a=ausdruck -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

könnte ja für b gelten:

$\begin{eqnarray*} b=ausdruck +\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

woraus sofort ohne rechnung fölgt:

$\begin{eqnarray*} d=|a-b|=1 \end{eqnarray*}$

3) zu fuß, d.h. mit bleistift und papier habe ich den beweis in 5 zeilen eben mit pythagoras erledigt smile

dazu kann man sich ja vor der arbeit ein paar so erzeugte tripel anschauen Augenzwinkern

hoffentlich kannst du jetzt mehr damit anfangen Big Laugh

11.11.2009, 16:12

armer_student

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gut, jetzt verstehe ich was du mir sagen willst, aber bei weitem nicht so deine "vermutung" herkommt. das blatt ist quasi als einarbeitung in CAS-Systeme gedacht für studenten die noch nie damit gearbeitet haben, d.h. es soll und darf lediglich mit diesem CAS-system gearbeitet werden. und diese systeme "vermuten" ja erstmal nicht viel Augenzwinkern

11.11.2009, 16:43

riwe

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dann soll es wohl als beispiel dienen dafür, dass man diese systeme nicht ohne eigenes hirn benutzen soll.
wie du ja selbst schreibst, kommst du damit nicht ans ziel.
ohne nachdenken ist halt CAS KAS (mundartlich für käse smile

)

mit köpfchen ist es ein leichtes smile

11.11.2009, 16:47

armer_student

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hmm also so überzeugt wie der professor von derive ist, glaube ich nicht dass er und so etwas sagen will. ich glaube er ist sogar von der unfehlbarkeit dieser systeme überzeugt.

so, jetzt bitte ich dich aber nochmal zu erklären woher deine vermutung kommt, dass k2=ausdruck+0,5 ist, das peil ich irgendwie noch nicht

11.11.2009, 16:59

riwe

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köpfchen verbietet ja kein CAS.
man darf/soll es ja/nur richtig anwenden smile

1) stelle eine vermutung auf, siehe die meine oben
2) man überprüfe sie auf korrektheit:

ergebnis mit mathematica online,
als armer pensionist nenne ich gerade noch einen 30-jahre alten taschenrechner mein eigen smile

11.11.2009, 17:29

riwe

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Zitat:

Original von armer_student
so, jetzt bitte ich dich aber nochmal zu erklären woher deine vermutung kommt, dass k2=ausdruck+0,5 ist, das peil ich irgendwie noch nicht

woher meine vermutung kommt verwirrt

woher soll ich das wissen verwirrt

nene es einfach (eine naheliegende) intuition smile

(die es mit oder ohne KAS zu überprüfen/beweisen gilt.

(wobei der beweis ohne CAS vermutlich "puristischer" ist)

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