Linear Unabhängig, Basis

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Tomoffel90 Auf diesen Beitrag antworten »
Linear Unabhängig, Basis
Sei V ein Q-Vektorraum und seien
Beweisen Sie:

a) Das System ist genau dann linear unabhängig, wenn das System , , linear unabhängig ist.

b) Das System ist genau dann ein Erzeugendensystem, wenn das System , , ein Erzeugendensystem ist.

Zu a) habe ich nun,
a() + b() + c(
(a+b) + (a+c) + (b+c)
a+b = a+c = b+c = 0

Dann: a+b = 0 <=> a = -b
a+c = 0 => -b+c = 0
b+c = 0 = -b+c
=> a = b = c = 0
Kann man es so beweisen?

Und falls dies richtig ist, wie kann ich dann ein Erzeugendensystem beweisen?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Dein Beweis ist richtig, aber Du hast bis jetzt nur die eine Richtung des „genau dann, wenn“ gezeigt. Nämlich dass aus der linearen Unabhängigkeit von v1, v2, v3 die von v1+v2, v1+v3, v2+v3 folgt. Es fehlt noch die umgekehrte Richtung.

Bei dem Erzeugendensystem musst Du zeigen:

Wenn man einen beliebigen Vektor x von V als Linearkombination von v1, v2, v3 darstellen kann, dann auch als Linearkombination von v1+v2 u. s. w. und umgekehrt.
 
 
Tomoffel90 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, die Rückrichtung von a)
Sei linear abhängig.
Es existiert also a,b,c (nicht alle = 0) so, dass

Damit linear unabhängig:
a + b = a + c = b + c = 0
=> a = b = c = 0
Es war aber gefordert, dass nicht alle gleich 0 sind. Also ein Widerspruch und somit linear abhängig.

Wäre dies so richtig? Oder muss ich zeigen, dass wenn linear unabhängig ist auch linear unabhängig ist?

Zum Erzeugendensystem:
Sei dann gibt so, dass

Die Summe ratinonaler Zahlen ist auch wieder rational, also ein Erzeugendensystem.

Ist es soweit schonmal richtig?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Bei dem Beweis hast Du Dich vertan. Du wiederholst nochmal die Richtung



Bloß machst Du diesmal einen (unnötigen) Widerspruchsbeweis.

Unnötig deshalb, weil er ein bisschen „doppelt gemoppelt“ ist: Wenn Du die lineare Unabhängigkeit ohnehin direkt beweist, brauchst Du nicht die (sowieso nicht benutzte) Annahme der linearen Abhängigkeit voranzustellen, um die dann zum Widerspruch zu führen. Du erweiterst damit den schon fertigen direkten Beweis nur künstlich.

Ein Widerspruchsbeweis bringt nur dann etwas, wenn Du die zu widerlegende Annahme auch tatsächlich benutzt.



Für die Rückrichtung schreibe einfach



Du benutzt dabei die lineare Unabhängigkeit von v1 + v2 ...



Zitat:
Original von Tomoffel90

Wäre dies so richtig? Oder muss ich zeigen, dass wenn linear unabhängig ist auch linear unabhängig ist?


Das hast Du im ersten Beitrag schon getan.



Zitat:
Original von Tomoffel90

Zum Erzeugendensystem:
Sei dann gibt so, dass

Die Summe ratinonaler Zahlen ist auch wieder rational, also ein Erzeugendensystem.

Ist es soweit schonmal richtig?


Ja, absolut richtig. Freude

Dann musst Du ja wieder die Rückrichtung machen.
Tomoffel90 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jacques

Für die Rückrichtung schreibe einfach



Du benutzt dabei die lineare Unabhängigkeit von v1 + v2 ...



Ist damit gemeint, dass es egal ist, wie oft ich an dran hänge, es bleibt immer = 0 und somit ist a = b = c = 0?

Und welche Richtung zeigen ich mit diesen Beweis jetzt genau. Das habe ich noch nicht ganz verstanden.
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn x = 0 gilt, dann gilt natürlich auch 2x = 0 bzw. x + x = 0. Deswegen kann man die Summe auf der linken Seite einfach nochmal ergänzen.

Daraus folgt aber noch nicht direkt a = b = c = 0 (beachte die Auslassungspünktchen). Sondern das war nur eine Möglichkeit, die Ausgangsgleichung in die Form x(v1 + v2) + y(v1 + v3) + z(v2 + v3) zu bringen. Dann kannst Du Voraussetzung benutzen, dass die Summenvektoren v1 + v2 u. s. w. linear unabhängig sind.

Man will beweisen



D. h., man setzt die lineare Unabhängigkeit der Summenvektoren voraus und muss daraus die lineare Unabhängigkeit von v1, v2 und v3 folgern.
Tomoffel90 Auf diesen Beitrag antworten »

Also setze ich im ersten Teil vorraus, dass linear unabhängig ist und folgere das andere daraus oder? Ich dachte es wäre umgekehrt gewesen.

Kannst mir vielleicht noch nen Tipp geben, hab gerade keine Idee, wie ich von
nach a(v1 + v2) + b(v1 + v3) + c(v2 + v3) kommen kann.

Die Rückrichtung von b)
ist ein Erzeugendensystem. Dann gibt es so, dass


Also auch ein Erzeugendensystem.
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tomoffel90

Also setze ich im ersten Teil vorraus, dass linear unabhängig ist und folgere das andere daraus oder? Ich dachte es wäre umgekehrt gewesen.


Nein, man schließt wirklich von den einzelnen Vektoren auf die Summenvektoren.

Ich glaube, das Missverständnis kommt daher, dass man mit der Gleichung



anfängt. Das ist aber nicht die Voraussetzung nach dem Motto „die Summenvektoren sind linear unabhängig“. Sondern um die lineare Unabhängigkeit der Summenvektoren zu zeigen, muss man ja aus der obigen Gleichung die Aussage a = b = c folgern. Und bei dieser Folgerung benutzt man die lineare Unabhängigkeit von v1, v2, v2.



Zitat:
Original von Tomoffel90

Kannst mir vielleicht noch nen Tipp geben, hab gerade keine Idee, wie ich von
nach a(v1 + v2) + b(v1 + v3) + c(v2 + v3) kommen kann.


Tut mir leid, da habe ich nicht genug aufgepasst, die Addition bringt gar nichts.

Dann musst Du zeigen, dass es für das Gleichungssystem







eine Lösung gibt. Dann kannst Du a, b, c entsprechend ersetzen und daraus a = b = c = 0 folgern.



Zitat:
Original von Tomoffel90

Die Rückrichtung von b)
ist ein Erzeugendensystem. Dann gibt es so, dass


Also auch ein Erzeugendensystem.


OK. Es fehlt aber noch der Nachweis, dass man a, b, c tatsächlich als



schreiben kann (siehe oben).
Tomoffel90 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jacques

Dann musst Du zeigen, dass es für das Gleichungssystem







eine Lösung gibt. Dann kannst Du a, b, c entsprechend ersetzen und daraus a = b = c = 0 folgern.


Ich denke mal, dass das letzt = c ist. Aber wie muss ich die Gleichung denn jetzt auflösen?
Ich könnte sie nach y auflösen dann hätte ich aber davon hab ich ja nix oder?

Oder versteh ich das ganze gerade völlig falsch?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tomoffel90

Ich denke mal, dass das letzt = c ist.


Ja, tut mir leid.



Zitat:
Original von Tomoffel90

Aber wie muss ich die Gleichung denn jetzt auflösen?
Ich könnte sie nach y auflösen dann hätte ich aber davon hab ich ja nix oder?

Oder versteh ich das ganze gerade völlig falsch?


Nein, Du hast es völlig richtig. Freude

Das Problem ist ja: Man will die Koeffizienten a, b, c in a = x + y, b = x + z und c = y + z zerlegen. Es ist aber zunächst nicht gesagt, dass es überhaupt passende Zahlen x, y, z gibt. Man hat die Zerlegung ja erstmal nur aufgeschrieben, ohne überhaupt die Existenz zu prüfen.

Das musste man eben noch nachholen, also man musste zeigen, dass für x, y und z tatsächlich passende Zahlen existieren. Wie man das macht, ist nicht so wichtig. Du kannst die Lösungen konkret ausrechnen oder aber bloß die Existenz nachweisen.
Tomoffel90 Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich also zeigen, dass




ist?

Aber wie kann ich daraus den Rückweg von a) nachweisen?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tomoffel90

Muss ich also zeigen, dass




ist?


Du hättest die Lösungen nicht konkret berechnen müssen, der reine Existenzbeweis hätte ausgereicht. Aber die Lösungen konkret anzugeben, um ihre Existenz nachzuweisen, ist natürlich richtig.

Mit diesem Nachweis ist dann auch gesichert, dass man a, b, c tatsächlich durch x+y u. s. w. ersetzen darf.



Zitat:
Original von Tomoffel90

Aber wie kann ich daraus den Rückweg von a) nachweisen?


Die Rückrichtung ist noch einfacher:

Stelle q als Linearkombination von v1 + v2, v1 + v3 und v2 + v3 dar und forme die Darstellung dann in eine Linearkombination von v1, v2, v3 um.

Dann bist Du fertig. smile
Tomoffel90 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jacques
Die Rückrichtung ist noch einfacher:

Stelle q als Linearkombination von v1 + v2, v1 + v3 und v2 + v3 dar und forme die Darstellung dann in eine Linearkombination von v1, v2, v3 um.

Dann bist Du fertig. smile


Dies wäre doch für das Erzeugendensystem oder?
Also
Zitat:
Original von Tomoffel90

Die Rückrichtung von b)
ist ein Erzeugendensystem. Dann gibt es so, dass


Also auch ein Erzeugendensystem.

Mit dem Beweis von a,b,c.

Allerdings brauch ich auch noch den Rückweg für die lineare Unabhängigkeit.

Zitat:
Original von Jacques
Zitat:
Original von Tomoffel90

Kannst mir vielleicht noch nen Tipp geben, hab gerade keine Idee, wie ich von
nach a(v1 + v2) + b(v1 + v3) + c(v2 + v3) kommen kann.


Tut mir leid, da habe ich nicht genug aufgepasst, die Addition bringt gar nichts.

Dann musst Du zeigen, dass es für das Gleichungssystem







eine Lösung gibt. Dann kannst Du a, b, c entsprechend ersetzen und daraus a = b = c = 0 folgern.


Wie kann ich hier jetzt auf a = b = c = 0 schließen?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Nur noch mal als Zusammenfassung:



a) Zu zeigen ist




Die Richtung



ist erledigt.

Bei der Rückrichtung



musst Du in der Gleichung



die Koeffizienten a, b, c zerlegen in a = x + y, b = x + z, c = y + z. Dass diese Zerlegung möglich ist, hast Du gezeigt, indem Du die Lösbarkeit des entsprechenden Gleichungssystems nachgewiesen hast (bei Aufgabe c).

Nach der Zerlegung bringt Du die Gleichung in die Form x(v1 + v2) + y(v1 + v3) + z(v2 + v3) = 0 und folgerst mit der vorausgesetzten linearen Unabhängigkeit der Summenvektoren, dass x = y = z = 0 und damit a = b = c = 0.



b)

Zu zeigen ist




Die Richtung



hast Du erledigt, wobei Du noch das mit dem Gleichungssystem ergänzen musst (dass man die Koeffizienten zerlegen kann).


Bei der Rückrichtung musst Du einfach die Linearfaktorzerlegung aus den Summenfaktoren in eine Linearfaktorzerlegung von v1, v2 und v3 bringen. Dann ist dieser Teil auch erledigt.



Noch als Hinweis:

Die Aufgaben a) und b) sind fast dasselbe, also man macht fast dieselben Schritte. Deswegen würde ich solche Sachen wie dem Gleichungssystem nicht zweimal aufschreiben, sondern einfach auf die andere Aufgabe verweisen.
Tomoffel90 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann sollte ich es jetzt haben.
Danke für die Hilfe und für die Geduld Augenzwinkern
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