Beweis mit Gaußklammern

11.11.2009, 14:20

Mäuschen1985

Beweis mit Gaußklammern

Hallo!

Ich habe hier folgende Aufgabe:
Man zeige:

$\begin{eqnarray*} \frac{n-m+1}{m}\leq \lfloor \frac{n}{m} \rfloor\leq \frac{n}{m}\leq \lceil \frac{n}{m} \rceil\leq \frac{n+m-1}{m}\ \end{eqnarray*}$

für

$\begin{eqnarray*} n,m\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Ich habe jetzt einfach mal für n und m ein paar Zahlen eingesetzt zB n=1 und m=2 und dabei kam dann folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} 0\leq 0\leq \frac{1}{2}\leq 1\leq 2 \end{eqnarray*}$

Für n=5 und m=2 dann dies:

$\begin{eqnarray*} 2\leq 2\leq \frac{5}{2}\leq 3\leq 3 \end{eqnarray*}$

Also das stimmt ja alles bisher, mir ist jetzt nur nicht klar wie ich das allgemein beweisen soll, oder reicht es schon wenn man ein paar Bsp. angibt?

11.11.2009, 14:28

Philipp Imhof

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RE: Beweis mit Gaußklammern
Hallo Mäuschen.

Nein, Beispiele reichen nicht für einen Beweis. Ein *Gegen*beispiel reicht allerdings aus, um eine Aussage zu Widerlegen.

Bei dieser Aufgabe ist wohl die Ungleichungskette in der Mitte klar, denn $\begin{eqnarray*} \lfloor\ \rfloor \end{eqnarray*}$ steht für "abrunden", und $\begin{eqnarray*} \lceil\ \rceil \end{eqnarray*}$ für aufrunden.

Für die erste Ungleichung $\begin{eqnarray*} \frac{n-m+1}{m}\leq\lfloor\frac{n}{m}\rfloor \end{eqnarray*}$ solltest du mal versuchen, den ersten Bruch in die Summe dreier Brüche zu zerlegen. Was stellst du dann fest?

11.11.2009, 14:38

Mäuschen1985

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RE: Beweis mit Gaußklammern

Zitat:

Original von Philipp Imhof
Hallo Mäuschen.

Nein, Beispiele reichen nicht für einen Beweis. Ein *Gegen*beispiel reicht allerdings aus, um eine Aussage zu Widerlegen.

Bei dieser Aufgabe ist wohl die Ungleichungskette in der Mitte klar, denn $\begin{eqnarray*} \lfloor\ \rfloor \end{eqnarray*}$ steht für "abrunden", und $\begin{eqnarray*} \lceil\ \rceil \end{eqnarray*}$ für aufrunden.

Für die erste Ungleichung $\begin{eqnarray*} \frac{n-m+1}{m}\leq\lfloor\frac{n}{m}\rfloor \end{eqnarray*}$ solltest du mal versuchen, den ersten Bruch in die Summe dreier Brüche zu zerlegen. Was stellst du dann fest?

Okay, dann komme ich auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{m}-\frac{m}{m}+\frac{1}{m} \leq \lfloor \frac{n}{m} \rfloor \end{eqnarray*}$

Gut dann sehe ich, dass dort ebenfalls

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{m} \end{eqnarray*}$

vorkommt und davon immer

$\begin{eqnarray*} \frac{m+1}{m} \end{eqnarray*}$

abgezogen wird.

Und daraus kann man folgern das es immer

$\begin{eqnarray*} \leq \lfloor \frac{n}{m} \rfloor \end{eqnarray*}$

ist?

11.11.2009, 15:44

Mäuschen1985

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wie würde man denn hier jetzt weiter vorgehen? kann mir da eventuell jemand einen anstoss geben...wäre für jede antwort dankbar!

12.11.2009, 12:24

Mäuschen1985

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Ist denn keiner hier der mir eventuell erklären könnte wie man so einen beweis führen kann? Ich will ja keine Lösung haben, nur nen denkanstoss... bitte ich weiss echt nicht weiter traurig

12.11.2009, 13:13

Philipp Imhof

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Sorry, ich habe dich völlig vergessen....

Also: Mit deiner Bruchumformung ist offensichtlich $\begin{eqnarray*} \frac{n-m+1}{m}=\frac{n}{m}-1+\frac{1}{m}\leq\frac{n}{m} \end{eqnarray*}$ .

Analog gehst du vor, um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{n}{m}<\frac{n+m-1}{m} \end{eqnarray*}$ ist.

Die Kette $\begin{eqnarray*} \lfloor \frac{n}{m} \rfloor\leq \frac{n}{m}\leq \lceil \frac{n}{m} \rceil \end{eqnarray*}$ ist klar.

Dann bleibt nur noch zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lfloor \frac{n}{m} \rfloor \end{eqnarray*}$ wirklich zwischen $\begin{eqnarray*} \frac{n-m+1}{m} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{n}{m} \end{eqnarray*}$ liegt (+ analog auf der anderen Seite der Kette). Ich würde mal tippen, dass sich das mit vollständiger Induktion zeigen lässt.

12.11.2009, 17:04

Mäuschen1985

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hi phillip!

vielen dank, ich werd mich da jetzt mal so ransetzen, nur vollst. induktion haben wir bisher noch nicht behandelt, deshalb weiss ich jetztr nicht ob ich das dann verwenden darf...

lg mäuschen

12.11.2009, 17:11

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Induktion ist nicht nötig. Man muss sich nur mal klarmachen, welche Reste bei der Ganzzahl-Division von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ möglich sind: Aus der Definition der Gaußklammer folgt, dass immer

$\begin{eqnarray*} n = \left\lfloor \frac{n}{m} \right\rfloor \cdot m + r \end{eqnarray*}$

mit einem Rest $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ im Bereich $\begin{eqnarray*} 0\leq r\leq m-1 \end{eqnarray*}$ gilt. Also folgt unmittelbar

$\begin{eqnarray*} \left\lfloor \frac{n}{m} \right\rfloor \cdot m + 0 \leq n \leq \left\lfloor \frac{n}{m} \right\rfloor \cdot m + m-1 \end{eqnarray*}$ .

12.11.2009, 17:24

Airblader

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Edit: Ich sollte einen Post zuende lesen, bevor ich daran was aussetze ... Augenzwinkern

air

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