Identität und Logarithmus

11.11.2009, 15:16	Wandtafel	Auf diesen Beitrag antworten »
Identität und Logarithmus Ich will folgende Identität beweisen, allerdings hab ich absolut keine Ahnung wie ich hier überhaupt schon anfangen soll: $\begin{eqnarray} \lim_{a \to \infty} \int_{-a}^{a} \dfrac{\log \vert x - s \vert}{x-t} dx = \dfrac{\pi^{2}}{2} \mathrm{sgn}(t-s) \end{eqnarray}$ , wobei s und t reelle Zahlen sind. Kann mir da vielleicht jemand helfen?
11.11.2009, 18:25	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das wirklich die ganze Aufgabe? Fehlen da nicht noch wichtige Informationen? Mit dem üblichen Integralbegriff jedenfalls kommt man in Schwierigkeiten, denn schließlich hat der Integrand an den Stellen $\begin{eqnarray} x=s \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x=t \end{eqnarray}$ von Sonderfällen abgesehen nicht hebbare Definitionslücken. Es handelt sich also um ein uneigentliches Integral. Und besonders die durch den Nenner hervorgerufene Definitionslücke dürfte problematisch werden. Höchstens mit Spezialisierungen wie z.B. dem Cauchyschen Hauptwert kann man da noch Sinn hineinbringen.
11.11.2009, 19:24	Wandtafel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohh, natürlich. Hab ich vergessen zu erwähnen. Es wird hier grundsätzlich der Cauchysche Hauptwert betrachtet. Ich habe hier keine spezielle Notation eingefügt, also kein P oder ähnliches vor das Integral geschrieben. Aber ansonsten habe ich keine weiteren Info's zu dieser Aufgabe.
13.11.2009, 12:25	Wandtafel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat denn wenigstens jemand eine Idee, wie man das zeigen könnte?

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