Surjektivität beweisen, Urbild und Umkehrfunktion

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sin(x²)= 99 Auf diesen Beitrag antworten »
Surjektivität beweisen, Urbild und Umkehrfunktion
Hey Leute hab eine allgemeine Frage zum Urbild und der Umkehrfunktion und die Berechnung der Umkehrfunktion:

Also was ist der Zusammenhang zwischen Urbild und Umkehrfunktion?
Ist Surjektivität immer gegeben wenn man das Urbild ausrechnen kann?

Und wie kann man die Umkehrfunktion bilden an dem Beispiel:

f: R \ 2 -> R





Also ich weiß, dass...

f(x) = y

Umkehrfunktion:

f(y) = x


Hoffe ihr könnt mir helfen...THX


ich habe mal ausgerechnet:


Ergebnis:

Also ist das die Umkehrfunktion?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Surjektivität beweisen, Urbild und Umkehrfunktion
Hallo,

Zitat:
Original von sin(x²)= 99

Also was ist der Zusammenhang zwischen Urbild und Umkehrfunktion?
Ist Surjektivität immer gegeben wenn man das Urbild ausrechnen kann?


Eine Abbildung von A nach B ist genau dann surjektiv, wenn jedes Element von B das Bild eines Elements von A ist. Also wenn jedes Element von B als Bild auftritt.

Mit „Urbild“ würde ich das nicht formulieren, denn wenn ein Element von B einfach gar nicht an der Funktion beteiligt ist, sagt man ja nicht unbedingt, dass es kein Urbild habe (sondern es tritt einfach nicht als Bild auf).



Zitat:
Original von sin(x²)= 99

ich habe mal ausgerechnet:


Ergebnis:

Also ist das die Umkehrfunktion?


Nein, das ist die Verkettung der Funktion mit sich selbst, also f o f bzw. y = f(f(x)).

Schreibe die Funktionsvorschrift als Gleichung



Vertausche dann die Variablen und löse die Gleichung nach y auf. Dann erhältst Du die Vorschrift der Umkehrfunktion.
sin(x²)= 99 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Surjektivität beweisen, Urbild und Umkehrfunktion
Also habe die Variablen vertauscht und nach y aufgelöst:

Das Ergebnis lautet

y = -1
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann nicht sein, denn eine Funktion kann ja keine konstante Funktion als Inverse haben.

Der erste Umformungsschritt ist





Man kann bei dem Ergebnis übrigens einfach die Probe machen, indem man testweise Zahlen einsetzt und prüft, ob die Zuordnungen tatsächlich umgekehrt worden sind. Also wenn z. B. f(2) = 4, dann muss die Umkehrfunktion der 4 die 2 zuordnen.
sin(x²)= 99 Auf diesen Beitrag antworten »

muss man da jetzt nicht noch -1 auf beiden Seiten abziehen damit das y alleine steht?


wenn man das so umformt steht ein y auf beiden seiten, das ist doch aber nicht so gut oder?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst die Gleichung als normale lineare Gleichung lösen:

Du isolierst alle Summanden mit y auf der einen Seite, alle anderen auf der anderen. Dann klammerst Du y aus und teilst die Gleichung durch den Faktor vor y (eventuell mit Fallunterscheidung, um eine Division durch 0 zu verhindern).
 
 
sin(x²)= 99 Auf diesen Beitrag antworten »

also irgendwie kommt mir das spanisch vor wenn auf zwei seiten ein y liegt...


ich habe ja:

=


wie kann ich hier jetzt das y ausklammern??

dann müsste das ja heißen:

Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast nicht alle Summanden mit y auf einer Seite isoliert:

sin(x²)= 99 Auf diesen Beitrag antworten »




das ist unsere Umkehrfunktion also?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau.

Wobei „Umkehrfunktion“ doch nicht ganz korrekt ist, weil die Ausgangsfunktion nur mit der Einschränkung



surjektiv ist.
sin(x²)= 99 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie lautet eigentlich die Umkehrfunktion von e^x


logarithmusfunktion?

warum ist die e funktion nicht surjektiv???

weil es Funktionswerte gibt die kein Urbild haben, ist das richtig?

Die e Funktion hat nur Funktionswerte im positiven Bereich des Koordinatenkreuzes, deswegen ist die Funktion nicht surjektiv
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Es kommt darauf an, was man als Zielmenge für die Funktion festlegt:



ist bijektiv und hat die natürliche Logarithmusfunktion ln als Inverse.


Die Funktion



ist dagegen nicht surjektiv, weil e^x > 0 für alle reellen Zahlen x.


Also zu einer Funktion gehört immer auch die Zielmenge, die man bei der Untersuchung von Surjektivität auf jeden Fall auch angeben muss. Der Funktionsterm alleine reicht nicht, um die Funktion zu beschreiben bzw. festzulegen.
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