Inverses Element

11.11.2009, 18:36	joca	Auf diesen Beitrag antworten »
Inverses Element Hallo alle zusammen, ich habe da mal ne Frage :0) Die Aufgabe, die ich zu bewältigen habe, lautet sooooooo... Man zeige, die Menge aller Paare M={(a,b):a,b ? R(reelle Zahlen) und a?0} ist eine Gruppe bezüglich der Operation (a1,b1)(a2,b2)=(a1a2,a1b2+b1) Also das neutrale Element hab ich, glaub ich, schon mit (1,0)!?! Aber ich weiß nicht, wie ich das Inverse Element zeigen soll.
11.11.2009, 19:01	poljpocket	Auf diesen Beitrag antworten »
Das inverse Element ist so definiert: $\begin{eqnarray} a \cdot a^{-1}=e \end{eqnarray}$ Also in deinem Fall hast du: $\begin{eqnarray} \left( a_{1}, a_{2} \right) \cdot \left( i_{1}, i_{2} \right) = \left( 1, 0 \right) \end{eqnarray}$ Das führt dich auf folgendes Gleichungssystem: 1: $\begin{eqnarray} a_{1} \cdot i_{1} = 1 \end{eqnarray}$ 2: $\begin{eqnarray} a_{1} \cdot i_{2} + a_{2} = 0 \end{eqnarray}$ dann löst du das auf (ich darf ja keine Lösungen präsentieren..) Gruss ppocket
15.11.2009, 15:44	joca	Auf diesen Beitrag antworten »
Super lieb, dass du so schnell geantwortet hast! Also wenn ich das richtig verstanden hab ist das Inverse Element kein exakter Zahlen wert sondern wär in diesem Fall (1/a1,-(a2/a1)) Stimmt das so weit? Dann muss ich ja noch zeigen, dass die Kürzungsregel gilt um zu zeigen, dass es eine Gruppe ist. Diese lautet ja so: für alle a,b,c € G soll gelten,dass ab=bc daraus folgt a=c und dass ab=ac daraus folgt b=c Rein von der Theorie ist mir das klar doch wie kann man das jetzt anwenden?Soll ich c einsetzten anstelle von a bzw b?Ich weiß leider nicht wie es weiter geht. Wer toll wenn mir da nochmal jemand auf die Sprünge helfen kann. Liebe Grüße joca
15.11.2009, 23:08	poljpocket	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit dem Inversen stimmt soweit und nein, das ist kein eindeutiger Zahlenwert, du sollst ja auch immer direkt das Inverse zu beliebigen Zahlenpaaren finden können. Aber damit leider noch nicht genug. Du musst noch zeigen, dass dieses inverse Element dann auch wieder in der Menge enthalten ist. $\begin{eqnarray} a^{-1} \in M. \end{eqnarray}$ Zu der Kürzungsregel... es reicht, zu zeigen, dass diese Menge ein neutrales Element hat und zu jedem Element ein Inverses existiert und dass die Operation assoziativ ist, was du jetzt dann noch beweisen müsstest. $\begin{eqnarray} \left(\left(a_{1},a_{2}\right)\left(b_{1}, b_{2}\right)\right) \left(c_{1}, c_{2}\right) = \left(a_{1},a_{2}\right) \left(\left(b_{1}, b_{2}\right)\left(c_{1}, c_{2}\right)\right). \end{eqnarray}$ Alles ohne Gewähr... Gruss ppocket
16.11.2009, 18:17	joca	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab das ohne Gewähr zu Kenntnis genommen! Nehm also an ich darf dich vor meinem Prof nicht zitieren Ich hab da nochmal eine Frage: warum reicht es wenn ich zeige das es assoziativ ist um die Kürzungsregel zu beweisen?Ist es zwar, aber ich versteh den Zusammenhang nicht ganz. War cool wenn du mir da nochmal auf die Sprünge helfen könntest. Danke,danke,danke schon mal Joca
16.11.2009, 19:13	poljpocket	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, das ist nicht so schwer nachzuvollziehen: Man kann beweisen, dass das neutrale Element sowie das Inverse zu einem Element immer linksneutral und rechtsneutral bzw. linksinvers und rechtsinvers ist, also: $\begin{eqnarray} a e = e a = a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a a^{-1} = a^{-1} a = e \end{eqnarray}$ Wenn du das weisst und weisst, dass die Operation assoziativ ist, dann kannst du die Kürzungsregel ganz einfach beweisen: $\begin{eqnarray} a b = a c \end{eqnarray}$ -- von links mit a^-1 multiplizieren: $\begin{eqnarray} a^{-1} a b = a^{-1} a c \end{eqnarray}$ ... (wieder darf ich nicht...) Und die andere Richtung: (die Gruppe muss ja nicht kommutativ sein!) $\begin{eqnarray} b a = c a \end{eqnarray}$ -- von rechts mit a^-1 multiplizieren: $\begin{eqnarray} b a a^{-1} = c a a^{-1} \end{eqnarray}$ ... Fertig mit freundlichen Grüssen, ppocket PS: Wieso du für diesen Beweis wirklich wissen musst, dass die Operation assoziativ ist, kannst du dir auch noch überlegen!
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