Finden eines Algorithmus, Blockmatrizen

11.11.2009, 19:02	NumerikNull	Auf diesen Beitrag antworten »
Finden eines Algorithmus, Blockmatrizen Hallo, ich häng gerade an dieser Aufgabe, vielleicht kann mir jemand helfen: Eine Blocktridiagonalmatrix $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} A_1 & C_1 & 0 & \cdots & 0 \\ B_2 & A_2 & C_2 & \ddots & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & B_{n-1} & A_{n-1} & C_{n-1} \\ 0 & \cdots & 0 & B_n & A_n \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{nm \times nm} \end{eqnarray}$ besitze eine LR-Zerlegung der Form $\begin{eqnarray} A = LR = \begin{pmatrix} I & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ L_2 & I & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & L_{n-1} & I & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & L_n & I \end{pmatrix}\begin{pmatrix} R_1 & T_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & R_2 & T_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & R_{n-1} & T_{n-1} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & R_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dabei seien alle Blöcke von der Größe $\begin{eqnarray} m \times m \end{eqnarray}$ , die Matrizen $\begin{eqnarray} R_i \end{eqnarray}$ seien invertierbar und $\begin{eqnarray} I \in \mathbb{R}^{m \times m} \end{eqnarray}$ bezeichne die Einheitsmatrix. Formulieren Sie einen möglichst effizienten Algorithmus zur Berechnung der Matrizen $\begin{eqnarray} L_i \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} R_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T_i \end{eqnarray}$ und zeigen Sie, dass maximal $\begin{eqnarray} Knm^3 + O(m^3) \end{eqnarray}$ Punktoperationen benötigt werden. Geben Sie eine möglichst kleine Konstante $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ an. Hat jemand eine Idee, wie ich an die Aufgabe rangehen könnte? Ich hab in der Vorlesung leider so gut wie nichts verstanden.

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