Uneigentliche R-Integrierbarkeit

11.11.2009, 19:21	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Uneigentliche R-Integrierbarkeit Hallo, angenommen ich habe eine auf jedem Intervall $\begin{eqnarray} [0,t] \end{eqnarray}$ riemann-integrierbare Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ , die auf $\begin{eqnarray} [(0, \infty)) \end{eqnarray}$ auch lebesgue-integrierbar ist: Wenn ich dann zeigen will, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|f\| \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} [0, \infty) \end{eqnarray}$ auch uneigentlich riemann-integrierbar sind, wie gehe ich denn dabei vor? Da fehlt mir irgendwie so die Idee, wie ich da rangehen soll. Irgendwie tut man sich anfangs ja doch etwas schwer, in diese Theorie mit dem Lebesgue-Integral reinzukommen. Wenn $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} [0,t] \end{eqnarray}$ riemann-integrierbar ist, dann ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ dort ja auch beschränkt. Außerdem ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ dort dann ja auch fast überall stetig (also bis auf eine Lebesgue-Nullmenge). Soweit ja erstmal die Definitionen. Aber wie komme ich nun weiter? Ich muss ja irgendwie auf sowas kommen: $\begin{eqnarray} \lim_{t \to \infty} \int\limits_{0}^{t} f(x) \dx < \infty \end{eqnarray}$ im riemannschen Sinne... bzw. analog ja auch für den Betrag von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Aber eine wirkliche Idee habe ich nicht. Hat da jemand einen Tipp für mich?
12.11.2009, 18:08	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne zu wissen ob mein Vorschlag etwas bringt, poste ich den dennoch Da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} t>0 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} [0,t] \end{eqnarray}$ R-integierbar ist, ist es auch L-integrierbar und die Integrale stimmen überein. Das heisst es gilt $\begin{eqnarray} \int\limits_0^tf(x)\dd x=\int\limits_{[0,t]}f\dd \mu=\int\limits_{\mathbb R}f\cdot\chi_{[0,t]}\dd \mu \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \chi_{[0,t]} \end{eqnarray}$ der charakteristischen Funktion vom Intervall $\begin{eqnarray} [0,t] \end{eqnarray}$ . Insbesondere gilt die obige Eigenschaft auch für alle $\begin{eqnarray} t=n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ . Das heisst man kriegt eine Funktionenfolge $\begin{eqnarray} g_n:=f\cdot\chi_{[0,n]} \end{eqnarray}$ die sicher monoton steigend ist.

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