Abbildung (nicht surjektiv -> nicht injektiv)

11.11.2009, 20:07

Kirsche

Abbildung (nicht surjektiv -> nicht injektiv)

Hallo mal wieder,

ich stehe mal wieder auf dem Schlauch.
Die Aufgabe lautet:

Sei f: X -> Y eine injektive Abbildung. Man zeige:

a) Es gibt eine surjektive Abbildung $\begin{eqnarray*} g: Y \rightarrow X \ mit \ g \ o \ f = id_{X} \end{eqnarray*}$
b) Ist f nicht surjektiv, so kann g nicht injektiv sein.

So, a) habe ich bereits gelöst. Ich hänge bei b) fest. Wenn ich die Kontraposition betrachte, ist es doch genau der Fall, den ich bei a) untersucht habe, oder?
Reicht es evtl. aus auf a) zu verweisen?

Für Hilfe bin ich wie immer sehr dankbar.

Liebe Grüße,

Kirsche

11.11.2009, 20:10

tmo

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Die Kontraposition von b) ist: g injektiv $\begin{eqnarray*} \Longrightarrow \end{eqnarray*}$ f surjektiv.

D.h. du musst zeigen, wenn g zusätzlich auch noch injektiv ist (also bijektiv), ist f surjektiv (also auch bijektiv).

11.11.2009, 20:18

Kirsche

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Danke für die schnelle Antwort.

Ok, verstehe.

D.h. ich könnte jetzt auch konkrete Beispiele nehmen wie z.B.

$\begin{eqnarray*} g\left(x\right) = lnx \ und \ f\left(x\right)= e^{x} \end{eqnarray*}$ .

Diese beiden Funktionen sind bijektiv und bei Hintereinanderschaltung bilden sie die Identität.

$\begin{eqnarray*} \left(f \ o \ g\right) \left(x\right)= f\left(g\left(x\right) \right) = e^{lnx} = x = id_{x} \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit?

Falls ja, wie kann ich das ganze jetzt allgemein fassen und zeigen?

11.11.2009, 20:31

tmo

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Also.

Du weißt folgendes:

g bijektiv, f injektiv, $\begin{eqnarray*} (g \circ f)(x)=x \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} y \in Y \end{eqnarray*}$ beliebig.

Berechne mal

$\begin{eqnarray*} g(f(g(y))) \end{eqnarray*}$

und folgere daraus.

11.11.2009, 20:50

Kirsche

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Ok.

$\begin{eqnarray*} g\left(y\right) = x \Rightarrow \ f\left(x\right) = y \Rightarrow \ g\left(y\right) = x g\left(f\left(g\left(y\right) \right) \right) = x \end{eqnarray*}$

So?

Hm, bloß, was folgere ich daraus? (Abgesehen davon, dass ich das überhaupt richtig gemacht habe)

11.11.2009, 20:54

tmo

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Zitat:

Original von Kirsche
$\begin{eqnarray*} g\left(y\right) = x \Rightarrow \ f\left(x\right) = y \end{eqnarray*}$

Woher nimmst du diese Folgerung? Das ist doch das, was du letztendlich zeigen willst.

Es ist doch $\begin{eqnarray*} g(f(g(y)))=(g \circ f)(g(y))= ... \end{eqnarray*}$

11.11.2009, 21:03

Kirsche

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Ok, nochmal ganz von vorne.

Ich muss zeigen, dass wenn g zusätzlich noch injektiv (also bijektiv) ist, f surjektiv ist (also auch bijektiv).

Sprich, ich will zeigen, dass g(y) = x und f(x) = y ist. Somit wäre bewiesen, dass wenn g bijektiv ist, f auch bijektiv ist.

Nun soll ich g(f(g(y))) ausrechnen. Ich weiß nicht, wie ich das mache. unglücklich

Hm, ich kann verstehen, wenn du keine Lust mehr hast, mir weiter zu helfen. Aber gut fänd ich das natürlich. smile

11.11.2009, 21:08

tmo

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Was du zeigen willst, ist $\begin{eqnarray*} f(g(y))=y \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} y \in Y \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt nämlich die Surjektivität von f.

Dazu nehmen wir ein beliebiges $\begin{eqnarray*} y \in Y \end{eqnarray*}$ und berechnen $\begin{eqnarray*} g(f(g(y))) \end{eqnarray*}$ .

Den ersten Schritt hab ich dir ja schon hingeschrieben. Nun nutze aus, dass $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ doch gerade die Indentität ist.

11.11.2009, 21:21

Kirsche

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Also das einzige, was ich aus dem von dir aufgeschriebenen ersten Schritt folgern kann, ist

$\begin{eqnarray*} g\left(f\left(g\left(y\right) \right) \right) \Rightarrow \left(g \ o f\right) \left(g\left(y\right) \right) \Rightarrow g\left(y\right) = x \end{eqnarray*}$

?

Edit:
Kann es sein, dass es genau darum geht?
Wenn

$\begin{eqnarray*} g: Y \rightarrow X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f \ o \ g = id_{Y} \end{eqnarray*}$ gegeben ist, und es ist $\begin{eqnarray*} y \in Y \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} y = f\left(g\left(y\right) \right) \end{eqnarray*}$ , also Bild von $\begin{eqnarray*} g\left(y\right) \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist surjektiv.

Ist das Hintergrundgedanke des Ganzen?

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