kommutative Ringe |
| 11.11.2009, 22:33 | Argonaut | Auf diesen Beitrag antworten » |
| kommutative Ringe mich beschäftigen folgende Probleme: 1) Zeigen Sie, dass ein Element r in einem kommutativen Ring R genau dann kein Nullteiler ist, wenn die Abbildung l(r): R -> R: x -> r*x, die durch Multiplikation mit r gegenen ist, injektiv ist. Wenn ein Bildelement aus genau einem Urbildelement entsteht, dann muss r = 0 sein, oder? Aber warum? Und was fang ich damit an?? 2) Zeigen Sie, dass ein endlicher kommutativer Ring mit Eins genau dann ein Körper ist, wenn er nullteilerfrei ist. Insbesondere ist also Z/nZ für eine Primzahl n ein Körper. Beachten Sie hierbei, dass eine injektive Abbildung einer endlichen Menge auf sich selbst auch surjektiv ist. Ist das nicht die Definition eines Körpers? Dass er nullteilerfrei ist? Naja... Ich hoffe, ihr gebt mir ein paar Hinweise, dann sollt ichs schon schaffen Danke Argonaut |
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| 11.11.2009, 23:24 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: kommutative Ringe zu 1) also, wir nehmen an: , also existiert ein x ungleich null in dem Ring mir r*x=0. andersherum ist aber auch r*0=0, also ist mit und , also sind zwei elemente gefunden, die nicht gleich sind und trotzdem das gleiche bild annehmen, damit ist die abbildung, wenn r ein nullteiler ist schon mal nicht injektiv. andersherum ist die abbildung injektiv, so gilt. nach vorraussetzung ist r aber nullteiler usw. zu 2) du sollst hier zeigen, dass wenn ein kommutativer Ring endlich und nullteiler frei ist, jedes element ein multiplikativ inverses besitzt; nur nullteilerfreiheit reicht für nen körper nicht aus. (stichwort primzahlen) |
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