Symmetrie LR-Zerlegung

12.11.2009, 10:37	Heike23	Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrie LR-Zerlegung Hallo, ich komme gerade bei dieser Aufgabe nicht weiter, hat jemand einen Tipp für mich? (a) Zeigen Sie: Falls $\begin{eqnarray} A \in \mathbb{R}^{n\times n} \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} LR \end{eqnarray}$ -Zerlegung $\begin{eqnarray} A = LR \end{eqnarray}$ besitzt, dann gilt: $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist symmetrisch $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} l_{ij} = \frac{r_{ji}}{r_{jj}} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i > j \end{eqnarray}$ . (b) Sei $\begin{eqnarray} A \in \mathbb{R}^{n\times n} \end{eqnarray}$ eine reguläre Tridiagonalmatrix und $\begin{eqnarray} PA = LR \end{eqnarray}$ die zugehörige $\begin{eqnarray} LR \end{eqnarray}$ -Zerlegung mit teilweise Pivotisierung. Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} \max_{i,j \in \{1, \ldots, n\}} \|r_{ij}\| \leq 2 \max_{i,j\in\{1, \ldots, n\}} \|a_{ij}\| \end{eqnarray}$ . bei der (a) hab ich das ganze mal aufgeschrieben und die Multiplikation etc. dargestellt, dass es stimmt ist mir also klar, ich frag mich nur, wie ich das beweisen soll.
12.11.2009, 11:36	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrie LR-Zerlegung Sehr weit bist du ja noch nicht gekommen, außer die Aufgabenstellung abzuschreiben. 1. Wie lautet der LR-Algorithmus ohne Pivot? 2. Was kann man anders schreiben, wenn man weiß A ist symmetrisch? 3. Auf was reduziert sich der LR-Algorithmus im Falle einer Tridiagonalmatrix? 4. Wie kann man das zur Abschätzung nutzen (Summanden abschätzen)

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