Kurvendiskussion mit Funktion 4ten Grades

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Zirkon17 Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvendiskussion mit Funktion 4ten Grades
Hallo zusammen,
Folgendes...
Ich schreibe am Samstag Matheklausur...
Und beschäftige mich gerade mit folgender funktion....
f(x)=x^4-6x^3+12x^2-8x

Also...
Wenn ich jetzt die Nullstellen berechnen will, kriege ich zwar etwas raus, aber weiß nicht was, was ist...

Ich habe erst eine Polynomdivision gemacht damit ich einen Grad herunter komme... also auf x^3.... durch probieren (x=2)

Dann habe ich von der funktion nochmals eine Polynomdivision gemacht... (wieder x=2)...
so...
dann habe ich den rest und pq formel eingesetzt und damit die anderen beiden nullstellen bestimmt...

war das richtig, was ich gemacht habe?

und was ich nicht verstehe ist...
manch einer sagt, dass man auch x^2 ausklammern könnte
müsste dann so aussehen
x^2(x^2-6x+12-.....???)
ich weiß nicht was da rauskommen soll...
und beim ausklammer schreiben manche dann, dass bei x=0 -> eine doppelte nullstelle ist...
wie kommt das zustande?


dann noch ne frage...
bei der funktion ist keine besondere symetrie zu erkennen oder?

noch eine...
kommt aus +unendlich und geht nach +unendlich?

so... gibt es bei der berechnung der extremwerte noch besonderheiten vllt?

gruß
Mike
Zirkon17 Auf diesen Beitrag antworten »

PS:

wenn man ja einen funktion 3. grades hat, dann sagt man ja, dass wenn (x=2) eingesetzt null ergibt, eine nullstelle ist..
wie ist das dann bei der funktion 5ten grades?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Die Nullstelle hat nichts mit dem Grad zu tun. Wikiepdie für die Anleitung der Kurvendiskussion benutzen.



Bei dem Polynom vom Grad 3 Ganzzahlige Teiler der 8 versuchen. Danach Polynomdivision und quadratische Lösungsformel.

x² Ausklammern bringt hier nichts.
Eierkopf Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion mit Funktion 4ten Grades
Bei Symmetrie verwende die entsprechende Definition oder bei ganzrationalen Funtkionen die auftretenden Exponenten. Treten nur ganze Zahlen (0,2,4, usw.) als Exponenten auf, dann ist die Funktion gerade und der Graph symmetrisch zur Y-Achse. Stelle weitere Regeln selbst auf zu nur ungerade E oder gemischt auftretende E.

Beim Verhalten im Unendlichen überlege, welche Bedeutung der jeweils Term des größten vorkommenden Exponeten, nebst Koeffizient, der gr Funktion hat.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion mit Funktion 4ten Grades
Zitat:
Original von Mikey3110
war das richtig, was ich gemacht habe?

Prinzipiell ja, siehe aber auch unten.

Zitat:
Original von Mikey3110
und was ich nicht verstehe ist...
manch einer sagt, dass man auch x^2 ausklammern könnte

Das geht aber nur, wenn der kleinste vorkommende Grad der Teilpolynome die 2 ist. In diesem Fall kann man kein x² aber ein x ausklammern, was die Nullstellenbestimmung sofort vereinfacht hätte. smile

Zitat:
Original von Mikey3110
und beim ausklammer schreiben manche dann, dass bei x=0 -> eine doppelte nullstelle ist...
wie kommt das zustande?

Wenn man x² ausklammern könnte, dann ist eben x=0 eine doppelte Nullstelle. Die Vielfachheit einer Nullstelle x_0 ist gleich der Anzahl der Linearfaktoren (x - x_0) in der Linearfaktorzerlegung des Polynoms.

Zitat:
Original von Mikey3110
dann noch ne frage...
bei der funktion ist keine besondere symetrie zu erkennen oder?

Jedenfalls nicht auf Anhieb.

Zitat:
Original von Mikey3110
kommt aus +unendlich und geht nach +unendlich?

Das ist generell der Fall bei Polynomen mit geradem Grad und positivem Koeffizienten vor dem x-Term mit dem höchsten Exponenten.

Zitat:
Original von Mikey3110
so... gibt es bei der berechnung der extremwerte noch besonderheiten vllt?

Das hängt vom Einzelfall ab.

Zu der Anschlußfrage:
Wenn an einer x-Stelle der Funktionswert Null ist, dann ist das eben eine Nullstelle, egal von welchem Grad das Polynom ist.

EDIT: unglaublic. Ich schreibe mir die Finger wund und andere kommen dann vor mir.. traurig
Eierkopf Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion mit Funktion 4ten Grades
Hab nicht viel Zeit, aber dennoch wichtig.

Zur Symmetrie bei g-r Funktionen.

In der Schulmathematik untersucht man idR nur elementare Symmetrien, also Achensymmetrie zur x-Achse oder Punktsymmetrie zum Ursprung.

Beachte aber auch, dass es noch andere Symmetrien gibt, z.B. könnte der Graph symmetrisch zur Geraden x=2 sein (Gerade durch P(2|0) parallel zur y-Achse, dann führt erst eine Transformation der Funktion auf solche Überlegungen wie Du sie aus dem Unterricht kennen dürftest.
 
 
Zirkon17 Auf diesen Beitrag antworten »

also...
ich schriebe mal auf, was ich bis jetzt habe...
wäre nett, wenn das einer auf richtigkeit überprüfen könnte....
1)
keine besonderen symetrieeigentschaften, da sowohl gerade als auch ungerade exponenten auftreten..
2) der graf verläuft von positiv nach positiv unendlich

3) nullstellen....
x^4-6x^3-12x^2-8x=0

durch probieren x=2

(x^4-6x^3-12^2-8x)unglücklich x-2)=x^3-4x^2+4x

somit ist ja x1=2????

nochmals durch probieren x=2

(x^3-4x^2+4x)unglücklich x-2)=x^2-2x

somit wäre dann ja x2=2????
und dann das ganze in pq formel

x3/4= 1+/- wurzel aus 1^2-0

somit wäre

x3/4=1+/-1

also
x3=2
und x4=0


also.... x1=2 x2=2 X3=2 und x4=0


stimmt das so????
Zirkon17 Auf diesen Beitrag antworten »

der smiley soll : ( sein.....
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mikey3110
3) nullstellen....
x^4-6x^3-12x^2-8x=0

Du mußt dich jetzt mal festlegen, ob es oder heißen soll. Sofern du das zweite betrachtest, stimmen die Lösungen

Außerdem bist du nicht auf den Tipp eingegangen, erstmal ein x auszuklammern.
Desweiteren ist die Anwendung der p-q-Formel auf etwas überdimensioniert. Spätestens hier solltest du das x ausklammern.
Zirkon17 Auf diesen Beitrag antworten »

x^4-6x^3+12x^2-8x=0

gut, dann bin ich ja beruhigt...
dankeschön!!!!
Zirkon17 Auf diesen Beitrag antworten »

könnte ich eine funktion 5ten grades auch mit 3 polynomdivisionen runterrechnen???
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich, sofern du entsprechend Nullstellen findest. Augenzwinkern
Zirkon17 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Frage noch...
Also...
Wenn ich bei den Extremwerten die Bedinung annehme f´(x)=0
dann habe ich bei einer Funktion vierten gerade ja immer noch ^3...
Somit kann ich ja nicht einfach die pq formel anwenden um die Extremwerte zu bestimmen...
Muss ich hier wieder eine Polynomdivision machen??????
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

In der Regel ja. Vorher natürlich eine Nullstelle finden. Augenzwinkern
Zirkon17 Auf diesen Beitrag antworten »

Sodele...
Jetzt folgendes Problem...
Also... Wenn ich bei der ersten Ableitung....
f´(X)=4x^3-18x^2+24x-8
die Polynomdivison mache mit der gefundenen x=2

also
(4x^3-18x^2+24x-8) : (x-2) = 4x^2-10x+4

sodele...
dann in pq-formel....

x^2-2,5x+1= Ex1/Ex2...... usw...
....
....
EX1/EX2= 1,25 +/- 0,75

EX1=2
EX2=0,5

das ganze dann in f´´ einsetzen um Hoch oder Tief zu bestimmen....

f´´(x)= 12x^2-36x+24

f´´(2)=0
f´´(0,5)=0
Sodele.... jetzt habe ich beides Null....
Was ne Scheiße....
Und jetzt????
Was ist Hoch und Tief???
Oder ist beides ein Tiefpunkt?
Was habe ich falsch gemacht?
Wie kriege ich den anderen Extremwert?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mikey3110
f´´(0,5)=0

Das ist falsch. Für die Stelle x=2 kannst du auch schauen, ob da die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel hat. Wenn nicht, dann keine Extremstelle, sondern Sattelpunkt. Oder du prüfst (falls ihr das hattet), ob auch f'''(2) = 0 und f''''(2) ungleich Null ist.

Und so sieht die Funktion aus:

Zirkon17 Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt...
habe nochmal f´´(0,5) gerechnet....
komme jetzt auf ´´(0,5)=9

somit ist f´´(2)=0<0 Hochpunkt

und f´´(0,5)=9>0 Tiefpunkt.....
Ist das somit korrekt oder habe ich etwas falsch verstanden von dem was du mir gerade sagen wolltest???
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mikey3110
somit ist f´´(2)=0<0 Hochpunkt

Seit wann ist Null kleiner als Null? Und wie du leicht an dem Plot sehen kannst, ist bei x=2 kein Extremum. Was ich meinte, ist folgendes:

Wenn f'(x_0) = f''(x_0) = 0 ist, dann kann man noch keine definitive Aussage machen, ob ein Extremum vorliegt oder nicht. Helfen kann dann noch das andere Kriterium, das besagt, wenn in x_0 die Ableitung f'(x) einen Vorzeichenwechsel hat, dann liegt ein Extremum vor.

Das heißt, du mußt zeigen, daß es ein delta > 0 gibt, so daß das Vorzeichen von f'(x) für x_0 - delta < x < x_0 anders ist als das Vorzeichen von f'(x) für x_0 < x < x_0 + delta .
Zirkon17 Auf diesen Beitrag antworten »

also für mich sieht das aber zumindest mit dem Tiefpunkt als Extrem richtig aus...
wenn bei x=2 kein hochpunkt vorliegt im eigentlichen sinne, dann habe ich doch auch keinen mehr....
die kurve läuft doch jetzt gegen unendlich.... da kommt doch kein umschwung mehr...
somit wäre meiner meinung nach bei x=2 ein hochpunkt...
Bin ich total blöde oder was?
ich raff das voll nicht.....
Sorry, aber trotzdem danke für deine Mühen!!!!
Zirkon17 Auf diesen Beitrag antworten »

ich soll jetzt also mit einer Ableitung beweisen, dass das Vorzeichen von Null negativ ist bzw etwas vorliegt bei f´(2)=0, welches kleiner als null ist, damit ich einen Hochpunkt beweisen kann?
wie geht das jetzt?
verstehe dein x_0 nicht... was soll das bedeuten?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mikey3110
also für mich sieht das aber zumindest mit dem Tiefpunkt als Extrem richtig aus...

Gegen den Tiefpunkt bei x = 0,5 habe ich ja auch nichts.

Zitat:
Original von Mikey3110
wenn bei x=2 kein hochpunkt vorliegt im eigentlichen sinne, dann habe ich doch auch keinen mehr....
die kurve läuft doch jetzt gegen unendlich.... da kommt doch kein umschwung mehr...

Richtig gesehen.

Zitat:
Original von Mikey3110
somit wäre meiner meinung nach bei x=2 ein hochpunkt...

Damit widersprichst du dir selbst. Ein lokaler Hochpunkt liegt bei x=2 vor, wenn es ein delta > 0 gibt, so daß f(x) >= f(2) ist für alle x mit 2 - delta < x < 2 + delta. Mit anderen Worten: in einer delta-Umgebung von 2 liegen alle Funktionswerte oberhalb von f(2). Wie man am Plot leicht sieht, ist das hier nicht der Fall.

Nun zu der Sache mit dem Vorzeichen. Es geht hier nicht um das Vorzeichen von Null. Null hat kein Vorzeichen. Wir wissen, daß f'(2) = 0 ist. Jetzt geht es um das Vorzeichen der 1. Ableitung in einer (kleinen) Umgebung von 2. Wie man ebenfalls am Plot sieht, ist die erste Ableitung in der Nähe von 2 immer positiv bis auf die Stelle x=2 selbst. Das heißt, daß die erste Ableitung bei x=2 nicht das Vorzeichen wechselt und daß somit dort kein Extremum ist. Das kann man natürlich auch formal zeigen. Es ist:



Für x in der Nähe von 2 ist der erste Faktor positiv und der zweite Faktor ist wegen dem Quadrat immer positiv.
Alex-Peter Auf diesen Beitrag antworten »
Grafische Darstellung der Funktion
Es ist sicher positiv, auch die graphische Lösung der Aufgabe zu sehen.
Zirkon17 Auf diesen Beitrag antworten »

Also... Danke erstmal!!!
Folgendes erkenne ich jetzt aus dem Graphen...
Der Graph verläuft durch den Ursprung... Also eine Nullstelle bei (0/0)
Dann hat der Graf eine Doppelte Nullstelle bei X(2/0)
Der Graph hat einen Tiefpunkt wie vorhin von mir errechnet...
Aber was ist jetzt mit dem Hochpunkt???
Kann mir einer vllt einfach klar machen, was mit dem Punkt ist?
Der Graph berührt ja bei X=2 die Achse... Allerdings hält verhält er sich positiv gegen Y und geht nicht wieder herunter...
Ist die Schlussfolgerung, dass ich keinen Hochpunkt habe???
Sondern nur einen Tiefpunkt als Extremum...
Ach ja... Zwei Wendepunkte ist ja richtig stimmts?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mikey3110
Dann hat der Graf eine Doppelte Nullstelle bei X(2/0)

Sogar eine dreifache Nullstelle, wie du leicht an der Linearfaktorzerlegung von f(x) erkennen kannst. Augenzwinkern

Zitat:
Original von Mikey3110
Ist die Schlussfolgerung, dass ich keinen Hochpunkt habe???
Sondern nur einen Tiefpunkt als Extremum...

Jaha. Das versuche ich die ganze Zeit zu erklären. Siehe:
Zitat:
Original von klarsoweit
Das heißt, daß die erste Ableitung bei x=2 nicht das Vorzeichen wechselt und daß somit dort kein Extremum ist.

Aber anscheinend wird das ja nicht gelesen. traurig

Zitat:
Original von Mikey3110
Ach ja... Zwei Wendepunkte ist ja richtig stimmts?

Richtig.
Zirkon17 Auf diesen Beitrag antworten »

ööööhmmmm....
Ein mal nerve ich noch :-D
Also...
Ist meine Rechnung richtig, wenn ich einen Wendepunkt bei (2/0) habe und den anderen bei (1/-1)????

Und was schreibe ich in der Klausur, wenn ich feststelle, dass ich nur einen Tiefpunkt habe???
f´´(2)=0 >< 0 ist also dann was für ein Punkt?
Sattelpunkt?
sowas hatten wir nicht... :-D
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mikey3110
Ist meine Rechnung richtig, wenn ich einen Wendepunkt bei (2/0) habe und den anderen bei (1/-1)????

Hab's jetzt nicht nachgerechnet, aber mit Blick auf den Funktionsgraphen dürfte das stimmen.

Zitat:
Original von Mikey3110
sowas hatten wir nicht... :-D

Ich kann dir nicht sagen, wie ihr sowas im Unterricht behandelt habt. Da solltest du nochmal nachfragen.
Zirkon17 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe gerade mal bei meinem schlauen zettel nachgeschaut.... :-D
also... habe hier stehen bei den extremwerten....
"hinreichende Bedingung für Extremwerte f´(XE)=0 und f´´(XE) = 0 bei dem gleichzeichen von f´´ ist aber noch n senkrechter strich durch..."
was bedeutet diese beiden bedingungen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das, was da steht. Und etwas wundert mich die Frage. Du hast doch angewendet, indem du die Stellen bestimmt, wo ist, und auch untersucht, ob da ist. Bei x_E = 0,5 ist das der Fall. Bei x=2 ist das nicht der Fall. Also ist da die hinreichende Bedingung nicht erfüllt und man kann ohne weitere Überlegungen nichts aussagen.
Zirkon17 Auf diesen Beitrag antworten »

Gut soweit....
Das habe ich kapiert.... :-D
Vielen vielen Dank!!!!!!!!!

Aber ein Problem habe ich noch....
Wenn ich jetzt eine Funktion herleiten soll aus folgenden Gegebenheiten...
Eine Funktion dritter Ordnung hat einen Extremwert (1/4)...
Ihre Wendetangente berührt den Graphen an der Stelle x=2 und hat die funktionsgleichung y=f(x)=-3x+8

Also...
sind meine Annahmen richtig?

f(1)=4
f´(1)=0
f´(2)=3
f´´(2)=0

stimmt das so?????
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also erstmal müßte f'(2) = -3 sein. Und dann verstehe ich den Text so, daß der Wendepunkt irgendwo sein kann und lediglich die Wendetangente die Funktion bei x=2 berührt. Da du die Funktionsgleichung der Tangente hast, kannst du aber den Funktionswert in x=2 ausrechnen.
Zirkon17 Auf diesen Beitrag antworten »

aber der funktionswert x=2 ist ja auch beim Wendepunkt x=2
ich muss ja um eine funktion 3ten gerades zu bestimmen 4 gleichungen haben....
und die ausgangsfunktion lautet ja
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
f´(x)=3ax^2+2bx+c
f´´(x)=6ax+2b

sodele... und jetzt muss ich ja werte bekommen, die ich für x einsetzen kann....
und wie soll ich aus der wendetangentengleichung 2 funktionen raus bekommen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mikey3110
aber der funktionswert x=2 ist ja auch beim Wendepunkt x=2

Wer sagt denn, daß bei x=2 ein Wendepunkt ist? Die ersten drei Bedingungen hast du richtig angegeben (bis auf das fehlerhafte Vorzeichen bei der 3). Die Wendetangente hat die Gleichung y=-3x+8 und berührt f(x) in x=2. Also ist f(2) = y(2) = 2 .
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