Lebesgueintegrierbarkeit von Funktionenfolge mit Lemma zeigen :(

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Daniel1985 Auf diesen Beitrag antworten »
Lebesgueintegrierbarkeit von Funktionenfolge mit Lemma zeigen :(
Hi, ich soll zeigen dass die Funktion
für alle Lebesguemeßbar ist.

Dazu soll ich ein ganz bestimmtes Lemma benutzen,
und zwar dass für meßbare monoton steigende Funktionenfolgen folgendes gilt:


Könntet ihr mir da eventuell helfen? Habe (hoffentlich korrekt) schonmal die Vorarbeit gemacht, also gezeigt dass Unstetigkeiten auf einer Nullmenge sind, und dass die monotone steigung gewährleistet ist.
Leider stecke ich bei der Anwendung des Lemmas fest. verwirrt

Hier schonmal mein Ansatz (schön mit Latex gemacht smile )
http://img402.imageshack.us/img402/973/meineloesung.png
Daniel1985 Auf diesen Beitrag antworten »

Moment, jetzt verstehe ich garnichts mehr!
Das ist ja irgendwie doch keine Funktionenfolge wenn n bloß aus [0,1] ist ...

Wenn mein n also nur zwischen 0 und 1 liegen darf, wie kann ich denn bitte das Lemma anwenden indem das n bis unendlich läuft? verwirrt
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Wahrscheinlich soll es
mit heissen.
Das heisst deine Funktion ist auf dem rellen Intervall definiert für jedes .

Oder?
Daniel1985 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Rasche Antwort.
Leider glaube ich nicht dass dem so ist.

Hier ist der O-Ton der Aufgabe:
http://img25.imageshack.us/img25/4031/originalaufgabe.jpg

Demnach ist wirklich dieses a aus dem Intervall [0,1], integriert wird über die gesamte positive Achse. Da soll man nämlich extra noch zeigen was passiert wenn a>1 ist (vermutlich wird die Funktion links von der Unstetigkeitsstelle negativ und das Lemma ist nicht mehr anwendbar)

Das Problem was ich habe ist, das ist doch keine Folge mehr oder? Das Lemma gilt aber doch nur für Folgen oder? Ich stehe gerade da wie der Ochs vorm Berg verwirrt
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst ist für alle . Mit hat man für alle , also keine Singularität.

Das bedeutet, deine Funktion ist stetig auf dem ganzen Intervall .

Nun wie könnte man die Funktion als eine Reihe schreiben?
Daniel1985 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe es auch schon mit einer Taylorentwicklung probiert, aber es kommt leider nur Kokolores raus.



Und hier ist für meinen Kenntnisstand Endhaltestelle böse verwirrt
 
 
Daniel1985 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry falsch, ich versuche es nochmal!
So ist die korrekte Entwicklung, dennoch bringt sie uns kein bisschen weiter:

Daniel1985 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lebesgueintegrierbarkeit von Funktionenfolge mit Lemma zeigen :(
Moment, ich probiere mal durch e^a zu teilen! Komme gleich mit einem neuen Lösungsversuch smile
Daniel1985 Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt So mittlerweile rechne ich seit 6 Stunden (!!) pausenlos an dieser Augabe, und es scheint einfach nicht möglich zu sein dieses Gebilde in eine Reihe umzuwandeln. Das geht nicht, ich bin so sauer!

Soll diese Aufgabe ein schlechter Scherz sein?
Daniel1985 Auf diesen Beitrag antworten »

Also nach erneuten 3 Stunden bin ich jetzt so weit
Die Funktion lautet ja und ich soll mit dem Beppo Levi Satz ja zeigen dass gilt

Ferner steht auf der Regel von Levi (mit der wir das lösen sollen) auf der Rechten Seite folgendes:



Also muss ich jetzt eine Reihenentwicklung von finden sodass


Stimmt es soweit? Die Ableitung ist aber nicht trivial, und auf eine solche Reihenentwicklung komme ich einfach nicht verwirrt
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst schon ein bischen aufpassen. Du hast keine Funktionenfolge gegeben. Diese musst du dir selber bauen.
Du hast lediglich eine Funktion
gegeben durch

[also nirgendwo ein !!]

Und der Satz von Beppo Levi sagt:
Sei eine montone, nichtnegative, messbare Funktionenfolge die (punktweise) gegen konvergiert.
Dann ist auch integrierbar und es gilt
.

Du kannst die gegebene Reihe nicht nach x ableiten ohne dass Null herauskommt, denn die Reihe enthält kein x mehr.

Was steht denn eigentlich in (a) ? Vielleicht ist da ein Tipp wie man die Reihe gut wählt, denn im Moment sehe ich auch keinen guten Kandidaten.
Daniel1985 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort, in a) ist zu beweisen dass das Integral

existiert, für alle positiven n!
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

OK, damit ist es klar Augenzwinkern .


Hinweis geometrische Reihe:
Für ist


Nun
Daniel1985 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deinen Hinweis.
Jetzt habe ich einfach die Summe in das Integral gezogen und habe da stehen:



Wenn ich jetzt einfach die Summe mit dem a^n zur geometrischen Reihe umwandel, dann steht da einfach



Was ein Problem darstellt weil da noch das n in der exponentialfunktion ist.

ich komme einfach nicht weiter ... rechne schon seit 5 tagen pausenlos durch unglücklich wie soll das denn bitte in der klausur aussehen, da habe ich doch auch keine 5 tage zeit!!! traurig
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst dir angewöhnen etwas genauer zu arbeiten...

Schau mal:
Einerseits hast du einfach mal die Summe und das Integral vertauscht. Das bedarf aber einer Erklärung !
Natürlich sollst du das machen, aber die Frage ist wieso man überhaupt tauschen darf?
[Hinweis: Satz von Lebesgue über dominierte Konvergenz; wie kann man eine Majorante finden? Dazu: einfach mal mit spielen, wobei
; Dreiecksungleichung, ].

Nun mache ich mal ein bischen weiter:
Mit der Begründung die du noch geben musst darf man also die Summe und das Integral vertauschen:


Nun beachte:
.
Wieso ist
?

Dann darfst du die geometrische Reihe nutzen, mit .
Daniel1985 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir system-agent.
Bevor ich meine gesamte Lösung hier poste noch eine kurze Nachfrage.

Also ich habe jetzt das korrekte Ergebnis raus und möchte natürlich noch zeigen, dass ich wirklich Summe und Integral vertauschen darf.

Dieses Korollar 4.11 welches wir benutzen sollen, sagt aus

wenn numerische messbare Funktionen ohne weitere Einschränkungen.

D.h. ich brauche ja keine Majorante zu finden richtig?
Reicht es aus zu Zeigen, dass der Term immer >0 ist und keine Singularitäten besitzt, oder reicht das nicht aus?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Das sagt das Korollar wahrscheinlich nicht.
Du bildest auf der linken Seite ja die Integrale von Funktionen , also müssen diese auch integrierbar sein.
Ausserdem ist die Voraussetzung nicht erfüllt [wegen dem Sinus; der wird auch negativ].
Daniel1985 Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, das Korollar sagt genau dies aus. Hier O-Ton von der Tafel abgeschrieben smile
Edit: Link entfernt; das Bild ist weiter unten angehängt. system-agent

Ich muss ja mit diesem Korollar argumentieren ... jetzt bin ich aber echt verwirrt weil der Sinus natürlich - wie du sagst - negativ werden kann.

Siehst du irgendwo einen anderen "Angriffspunkt" für dieses Korollar 4.11?
ich leider nicht traurig
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm...ich habe eben noch einmal nachgeschaut. Es wird tatsächlich nur vorausgesetzt, dass die Folge der Funktionen messbar sein muss.
Daher kommt auch die Forderung nach der Nichtnegativität.


Also mit dem Korollar geht es nicht, zumindest nicht so direkt. Vielleicht kann man einen anderen Weg finden und das Korollar doch nutzen.
Aber mit dem Lebesgue-Satz geht es doch schnell Augenzwinkern .


Bitte lade Bilder immer hier im Board hoch, nicht bei anderen Anbietern, denn wenn diese das Bild löschen kann den Thread niemand mehr nachvollziehen.
Lade es doch bitte noch hier hoch !
Daniel1985 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja echt komisch unglücklich Ich denke mal schon dass "unser" Weg momentan richtig ist, denn das nutzt ja wunderschön den Aufgabenteil a) aus.

Werde mir jetzt auch nochmal gedanken um das Korollar machen, aber ich komm bestimmt sowieso nicht drauf! Ich gebe aber nicht auf verwirrt schließlich muss es ja irgendwie gehen. Augenzwinkern

Das Korollar (Bild) habe ich jetzt nochmal hier beigefügt, um den Thread der Nachwelt zu erhalten. Sobald das jemals mal fertig wird, gibts eine schöne Latex Lösung der kompletten Aufgabe.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Daniel1985
Das Korollar (Bild) habe ich jetzt nochmal hier beigefügt, um den Thread der Nachwelt zu erhalten. Sobald das jemals mal fertig wird, gibts eine schöne Latex Lösung der kompletten Aufgabe.


Perfekt Freude .
Daniel1985 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verzweifel langsam echt! Kann doch nicht sein das ich schon 1 Woche an dieser Aufgabe rechne und immernoch NIX schnalle.

Ich habe ja jetzt


Aber damit kann ich nichts anfangen, weil das Lemma der dominierenden Konvergenz überhaupt nicht mit der Summe arbeitet sondern mit dem Limes.

Es gilt ja
wenn

Der Grenzwert von dem ist jetzt eigentlich nicht so trivial berechenbar. Ist ja eine Mixtur aus Geometrischer Reihe und Sinus. (<-- mein Mathcad gibt für die Summe bis N eine 5 Seiten lange Gleichung aus, das kann doch irgendwie nicht stimmen verwirrt )

So langsam zweifel ich echt an mir, ich pack das doch nie, wenn ich für eine solche blöde aufgabe schon 1 Woche brauche. Und das ist gerade mal Aufgabe 1b von insgesamt 5 Aufgaben unglücklich unglücklich unglücklich
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Na du musst die doch nur abschätzen.


Nun:
für alle .
für alle .

Also geometrische Reihe liefert:


Ist integrierbar auf ?
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