Grenzwerte bestimmen/Konvergenz

12.11.2009, 16:54

pi>0

Grenzwerte bestimmen/Konvergenz

Hallo,

Ich soll die Grenzwerte finden zu, falls vorhanden:

1. $\begin{eqnarray*} (a_n)_n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n = \sum_{k=0}^n~q^k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} q \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und |q| < 1

2. $\begin{eqnarray*} (b_n)_n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b_n = \sum_{k=1}^n~\frac{k}{n^2} \end{eqnarray*}$

3. Sei $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine folge mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = a \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie: auch | $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ | konvergiert und es gibt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} |a_n| = |a| \end{eqnarray*}$

Außerdem soll ich noch eine Folge finden für die gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_nb_n \end{eqnarray*}$ beschränkt aber nicht konvergent
Wobei der $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Zu 1+2, leider hab ich keine Ahnung wie ich den Grenzwert bei einer Summen finden soll. Wär nett, wenn mir jemand ein Beispiel geben könnte.

Bei 3 und 4 wär ein Ansatz oder Tipp ganz nett.
Danke

12.11.2009, 17:04

tmo

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Zur 1 und 2 jeweils ein Stichwort: Geometrische Reihe und Gaußsche Summenformel

Zur 3: Mache z.b. die Fallunterscheidung a < 0, a=0, a >0

Oder du benutzt $\begin{eqnarray*} ||x|-|y|| \leq |x-y| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Zur 4: Wähle die beiden Folgen z.B. so, dass $\begin{eqnarray*} a_nb_n = (-1)^n \end{eqnarray*}$ gilt.

12.11.2009, 17:28

pi>0

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1. $\begin{eqnarray*} a_n = \sum_{k=0}^n~q^k = 1+q+q^2+...+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$
Also:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} q^{n+1} = 0 \lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$
Wäre dann also der Grenzwert von q abhängig? Reicht es soweit?

3. $\begin{eqnarray*} |a_n-a| \leq \epsilon , ||a_n|-|a|| \leq |a_n-a| \leq \epsilon \end{eqnarray*}$
Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} ||a_n|-|a|| \leq |a_n-a| \leq \epsilon \end{eqnarray*}$
Wäre das ein gültiger Beweis?

4. Es müsste doch dann mit: $\begin{eqnarray*} a_n = n^n, b_n = -\frac{1}{n} => a_nb_n=-\frac{n^n}{n} = (-1)^n \end{eqnarray*}$ gehen oder?

13.11.2009, 08:32

klarsoweit

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Zitat:

Original von pi>0
Wäre dann also der Grenzwert von q abhängig? Reicht es soweit?

Ja.

Zitat:

Original von pi>0
Wäre das ein gültiger Beweis?

Im Prinzip ja, aber du solltest bei der Formulierung des Beweises nicht mit Erläuterungen sparen. smile

Zitat:

Original von pi>0
4. Es müsste doch dann mit: $\begin{eqnarray*} a_n = n^n, b_n = -\frac{1}{n} => a_nb_n=-\frac{n^n}{n} = (-1)^n \end{eqnarray*}$ gehen oder?

So, so. Es ist also $\begin{eqnarray*} -\frac{n^n}{n} = (-1)^n \end{eqnarray*}$ ?

Kleiner Test für n=2: $\begin{eqnarray*} -\frac{2^2}{2} = -\frac 4 2 = -2 \neq (-1)^2 \end{eqnarray*}$

Du machst es dir komplizierter als es ist. Warum nimmst du nicht einfach a_n = n ? verwirrt

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