Induktion von Summen

12.11.2009, 16:57

lessing

Induktion von Summen

Hallo ..hab ne frage...ich muss folgenden Gleichung durch Induktion beweisen.

Weiß aber nicht wie man das machen soll...mir würde schon ein tipp reichen.:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2n}{\frac{(-1)^{k-1}}{k}}=\sum_{k=1}^n{\frac{1}{n+k}} \end{eqnarray*}$

danke für jede hilfe

edit tmo: Latex-Klammern gesetzt.

12.11.2009, 17:01

tmo

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Du kannst doch bestimmt schonmal Induktionsanfang und Induktionsvorraussetzung hier reinschreiben.

12.11.2009, 17:01

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Schau dir einfach an, welche Summanden beim Übergang $\begin{eqnarray*} n\to n+1 \end{eqnarray*}$ links und rechts dazukommen oder auch wegfallen.

In dem Zusammenhang: Die rechte Seite kann man durch Umindizierung auch wie folgt schreiben

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n{\frac{1}{n+k}} = \sum_{j=n+1}^{2n}{\frac{1}{j}} \end{eqnarray*}$ .

13.11.2009, 22:01

Lessing

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Allso mein INduktionsschritt sieht jetzt folgendermaßen aus
[latex]\sum_{k=1}^{2(n+1)}~\frac{(-1)^{k-1}}{k}=\sum_{k=1}^{2n}~\frac {1}{n+k}+\frac{(-1)^{2n+1}}{2n+1}[\latex]muss ich jetzt für k=n einsetzen oder k= n+1...oder ist mein induktionsschritt komplett falsch??

13.11.2009, 22:24

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Es ist $\begin{eqnarray*} 2(n+1) = 2n+2 \end{eqnarray*}$ , d.h. bei

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2(n+1)} ~ \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \sum_{k=1}^{2n+2} ~ \frac{(-1)^{k-1}}{k} \end{eqnarray*}$

kommen im Vergleich zu $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2n} ~ \frac{(-1)^{k-1}}{k} \end{eqnarray*}$ zwei (!) neue Summanden hinzu: der für $\begin{eqnarray*} k=2n+1 \end{eqnarray*}$ und der für $\begin{eqnarray*} k=2n+2 \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Was denkst du, warum ich das extra so betont habe, das mit den dazu kommenden bzw. wegfallenden Summanden? Also bitte konzentrieren!

14.11.2009, 10:52

Lessing

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also ich hab jetzt mal deinen tipp befolgt und komme auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2n+2}~\frac{(-1)^{k-1}}{k}=\sum _{k=1}^{2n}~\frac{(-1)^{k-1}}{k}+\frac{(-1)^{2n}}{2n+1}+\frac{(-1)^{2n+1}}{2n+2} \end{eqnarray*}$

nun setze ich die Induktionsvoraussetzung ein und erhalte:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{n+k}+\frac{(-1)^{2n}}{2n+1}+\frac{(-1)^{2n+1}}{2n+2} \end{eqnarray*}$

so..dann wende ich deinen tipp an mit dem Uminduzieren und erhalte:
$\begin{eqnarray*} \sum_{j=n+1}^{2n}~\frac{1}{j}+\frac{(-1)^{2n}}{2n+1}+\frac{(-1)^{2n+1}}{2n+2} \end{eqnarray*}$

so und jetzt kommt mein problem:

ich löse nun das summenzeichen auf und erhalte:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1}+\frac{1}{2n+1}+\frac{(-1)^{2n}}{2n+1}+\frac{(-1)^{2n+1}}{2n+2} \end{eqnarray*}$

ich bin mir aber nicht sicher,ob ich die summe einfach so auflösen kann.

und dann noch ne frage: wenn ich das,angenommen es wäre richtig, so lange weiter umforme, muss ich doch auf $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~\frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$ kommen oder??

14.11.2009, 12:36

klarsoweit

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Der Tipp mit dem Umindizieren ist zwar ganz nett, aber das ist nicht zwingend erforderlich. Es reicht eine einfache Indexverschiebung, wenn man hiermit weiter rechnet:

Zitat:

Original von Lessing
nun setze ich die Induktionsvoraussetzung ein und erhalte:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{n+k}+\frac{(-1)^{2n}}{2n+1}+\frac{(-1)^{2n+1}}{2n+2} \end{eqnarray*}$

Vor der Indexverschiebung zieht man noch den ersten Summanden raus und denkt in endlicher Zeit darüber nach, was $\begin{eqnarray*} (-1)^{2n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-1)^{2n+1} \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} ... = \sum_{k=2}^n~\frac{1}{n+k} + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2n+1}+ \frac{-1}{2n+2} = \sum_{k=1}^{n-1}~\frac{1}{n+1+k} + \frac{1}{2n+1} + \frac{2}{2n+2} - \frac{1}{2n+2} = ... \end{eqnarray*}$

14.11.2009, 14:36

Lessing

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also... $\begin{eqnarray*} ... = \sum_{k=2}^n~\frac{1}{n+k} + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2n+1}+ \frac{-1}{2n+2} \end{eqnarray*}$ bis hier hin verstehe ich das noch...

der nächste schritt erschließt sich mir überhaupt nicht
die terme :
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n+1}+ \frac{-1}{2n+2} \end{eqnarray*}$ bleiben ja gleich..aber wie man auf den rest kommt, also auf

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n-1}~\frac{1}{1+n+k}+\frac{2}{2n+2} \end{eqnarray*}$
kann ich nicht nachvollziehen...

könntest du mir das bitte noch erklären...aber danke schon mal für die Hilfe...hat mich schon nen schritt weiter gebracht...noch mal die frage:

muss am ende rauskommen: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~\frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$ ?

14.11.2009, 15:08

klarsoweit

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Zitat:

Original von Lessing
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n-1}~\frac{1}{1+n+k}+\frac{2}{2n+2} \end{eqnarray*}$
kann ich nicht nachvollziehen...

Zum einen ist durch Indexverschiebung $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n~\frac{1}{n+k} = \sum_{k=1}^{n-1}~\frac{1}{1+n+k} \end{eqnarray*}$ .

Die Gleichheit von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{2}{2n+2} \end{eqnarray*}$ leuchtet sofort ein.

Zitat:

Original von Lessing
muss am ende rauskommen: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~\frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$ ?

Nein. Es muß am Ende die rechte Seite der Behauptung rauskommen, wobei jedes n durch (n+1) ersetzt wird.

14.11.2009, 15:51

Lessing

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man bin ich dumm und blind...

dann ist ja doch nicht so schwer:

$\begin{eqnarray*} = \sum_{k=1}^{n-1}~\frac{1}{n+1+k} + \frac{1}{2n+1} + \frac{2}{2n+2} - \frac{1}{2n+2} = \sum_{k=1}^{n-1}~\frac{1}{n+k+1}+\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+1}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sum_{k=1}^n~\frac{1}{n+k+1}+\frac{1}{2n+2}=\sum_{k=1}^{n+1}~\frac{1}{1+k+n} \end{eqnarray*}$

Q.E.D

...ist doch jetzt richtig oder???

EDIT von Calvin
Zeilenumbruch eingefügt

14.11.2009, 15:59

klarsoweit

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Ja.

14.11.2009, 16:15

Lessing

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ich bedanke mich vielmals, dass ihr mir so schnell geholfen habt...wünsche euch noch ein schönes wochenende Wink

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