unstetige Funktion auf unendl. dim Vektorräumen

12.11.2009, 18:29

Seren

unstetige Funktion auf unendl. dim Vektorräumen

Guten Abend,
ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} (V,||\cdot||) \end{eqnarray*}$ sei ein unendlich dimensionaler normierter Raum. Zu zeigen: Es gibt eine unstetige Linearform $\begin{eqnarray*} \phi: V \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Meine Überlegungen dazu:
In linearen Räumen gilt ja: stetig = beschränkt. Also muss ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ über alle Grenzen wächst, also divergiert. Dazu habe ich den Tipp bekommen, dass ich mit der Basis arbeiten soll: $\begin{eqnarray*} \{ e_i |\ i \geq 1 \} \end{eqnarray*}$ und dann einen Punkt $\begin{eqnarray*} x \in V \end{eqnarray*}$ definieren soll als: $\begin{eqnarray*} x := \sum_{i=1}^{\infty} x_i\cdot e_i \end{eqnarray*}$ .. und dann komm ich nicht weiter. Wie zeig ich, dass das nun über alle Grenzen wächst?
Zwischendurch wurde das Stichwort "Auswahlaxiom" und "Lemma von Zorn" genannt, aber damit kann ich auch nur wenig anfangen.

Danke im Voraus

Seren

12.11.2009, 20:26

Seren

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Wirklich keiner?

13.11.2009, 12:14

Urza

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RE: unstetige Funktion auf unendl. dim Vektorräumen

Zitat:

In linearen Räumen gilt ja: stetig = beschränkt.

Das stimmt so nicht. Richtig ist, dass eine lineare Abbildung zwischen normierten $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ -Vektorräumen genau dann stetig ist, wenn sie beschränkt ist. Dabei ist 'beschränkt' aber in einem ganz speziellen Sinne gemeint, nämlich wird $\begin{eqnarray*} f: (V,||.||_V)\to (W,||.||_W) \end{eqnarray*}$ ein beschränkter linearer Operator genannt, wenn ein $\begin{eqnarray*} L\in\mathbb{R}, L>0 \end{eqnarray*}$ existiert, sodass für alle $\begin{eqnarray*} x\in V\!\setminus\!\{ 0\} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{||f(x)||_W}{||x||_V} < L \end{eqnarray*}$

Zitat:

Also muss ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ über alle Grenzen wächst, also divergiert.

Nicht wirklich (siehe oben)

Ein Vorschlag zur Lösung der Aufgabe: Es existiert eine geordnete Basis $\begin{eqnarray*} (e_i)_{i\in I} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ mit irgendeiner unendlichen Indexmenge $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ . Dir ist sicher bekannt, dass jede beliebige Zuordnung der Basiselemente $\begin{eqnarray*} e_i \end{eqnarray*}$ auf reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} r_i \end{eqnarray*}$ genau eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} V\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert, nämlich konkret $\begin{eqnarray*} f(\sum_{i\in I} \lambda_i e_i) = \sum_{i\in I} \lambda_i f(e_i) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda_i\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sodass $\begin{eqnarray*} \lambda_i = 0 \end{eqnarray*}$ für alle bis auf endlich viele $\begin{eqnarray*} i\in I \end{eqnarray*}$ . Falls dir das nicht bekannt war, solltest du es dir klarmachen/nachlesen oder notfalls hier nachfragen!

Nun die Frage: Wie kann man diese Bilder $\begin{eqnarray*} r_i \end{eqnarray*}$ wählen, sodass der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{|f(x)|}{||x||}, x\in V\!\setminus\!\{ 0\} \end{eqnarray*}$ unbeschränkt wird (also $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ unstetig) ?

edit: 2 Stunden nach dem Posten der Frage "Wirklich keiner?" zu fragen, ist auch nicht besonders sinnvoll. Wenn jemand da ist, der dir helfen kann und will, wird er das auch nach einmal fragen tun!

09.11.2015, 20:21

Carmen S. 1990

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lineare Abb durch Basiszuordnungen definieren
Hallo zusammen!

Nach langen Rumgrübeln komme ich immer noch nicht weiter...

warum definiert denn auch in unendlich dimensionalen Vektorräumen jede Zuordnung der Basiselemente eine lineare Fortsetzung auf dem ganzen Vektorraum?

Ich bedanke mich schon mal im Voraus für Eure Unterstützung.

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