Menge Hom(A,B) von Gruppenhom.

12.11.2009, 17:56

MasterOfTheNumbers

Menge Hom(A,B) von Gruppenhom.

Hallo !
Ich habe zwei Fragen zur Menge Hom der Gruppen-Homomorphismen:

1.
Seien A,B endliche Gruppen. Jetzt möchte ich gerne wissen wieviele Homomorphismen es von A nach B gibt, also praktisch die Mächtigkeit der Menge Hom(A,B).

Meine erste Überlegung dazu war, dass ich alle Normalteiler von A bestimme und dann fertig bin, da ich dachte, dass die Anzahl der Normalteiler gleich der Anzahl von Homomorphismen aus A ist.
Allerdings bin ich mir, was das angeht, nicht mehr ganz sicher. Es ist zwar, soweit ich weiß, jeder Normalteiler Kern eines Homomorphismus aus A, allerdings nicht von "genau einem" oder ? Kann es nicht sein, dass 2 verschiedenen Homomorphismen den selben Normalteiler als Kern haben ?

2.
Aufbauend auf die Fragestellung von 1) wollte ich mir überlegen, ob es Homomorphismen von endlichen in unendliche Gruppen gibt:

Sei A endliche Gruppe und $\begin{eqnarray*} B:=(\mathbb Z, +) \end{eqnarray*}$ . Gibt es Homomorphismen von A nach B ?

Ich habe mir dafür überlegt, wie ein solcher Homomorphismus aussehen kann: Das neutrale Element aus A wird auf die 0 abgebildet. Bis hierhier ist alles klar. Die übrigen Element aus A haben alle eine endliche Ordnung und müssten daher auf Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ abgebildet werden, deren Ordnung ein Teiler davon ist. Allerdings haben dort alle Elemente außer Null unendliche Ordnung.
Daher denke ich, dass es nur die Nullabbildung als Homomorphismus gibt. Wie seht ihr das ?

12.11.2009, 18:37

kiste

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Hallo,

1.) Deine Vermutung ist falsch.
Betrachte nur einmal B=1 bzw. B=AxA
Die Bestimmung von Hom(A,B) ist nicht-trivial!

2.) Richtige Überlegung. Natürlich gibt es auch unendliche Gruppen in die es nicht-triviale Homomorphismen gibt. Betrachte nur das direkte Produkt der Gruppe mit einer bel. unendlichen Gruppe

13.11.2009, 13:25

MasterOfTheNumbers

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Zitat:

Original von kiste
1.) Deine Vermutung ist falsch.
Betrachte nur einmal B=1 bzw. B=AxA

Okay, ich habe jetzt mal versucht ein Gegenbeispiel zu finden:

Sei $\begin{eqnarray*} A:=\mathbb Z_4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B:=A \times A \end{eqnarray*}$ . Wir betrachten die Abbildungen f und g mit:

$\begin{eqnarray*} f:\begin{cases} 0 \mapsto (0,0), 1 \mapsto (1,0), 2 \mapsto (2,0), 3 \mapsto (3,0), \end{cases} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} g:\begin{cases} 0 \mapsto (0,0), 1 \mapsto (0,1), 2 \mapsto (0,2), 3 \mapsto (0,3), \end{cases} \end{eqnarray*}$

Damit haben wir zwei unterschiedliche Homomorphismen, die beide den Normalteiler $\begin{eqnarray*} \{ 0 \}\ \end{eqnarray*}$ als Kern haben.

Zitat:

Original von kiste
1.) Betrachte nur einmal B=1

Was meinste du mit B=1 ?

Zitat:

Original von kiste
2.) Richtige Überlegung. Natürlich gibt es auch unendliche Gruppen in die es nicht-triviale Homomorphismen gibt. Betrachte nur das direkte Produkt der Gruppe mit einer bel. unendlichen Gruppe

Auch das habe ich einmal mit einem Beispiel probiert:

Sei dazu $\begin{eqnarray*} A:=\mathbb Z_4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B:=\mathbb Z_4 \times \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Wir betrachten die Abbildung f mit

$\begin{eqnarray*} f:\begin{cases} 0 \mapsto (0,0), 1 \mapsto (1,0), 2 \mapsto (2,0), 3 \mapsto (3,0), \end{cases} \end{eqnarray*}$

Damit habe ich einen Homomorphismus, der keine Nullabbildung ist.

Zitat:

Original von kiste
Die Bestimmung von Hom(A,B) ist nicht-trivial!

Gibt´s den irgendwelche Tricks oder Sätze / Formeln die einem dazu nützlich sein könnten ?

13.11.2009, 16:04

kiste

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Zitat:

Original von MasterOfTheNumbers
Was meinste du mit B=1 ?

Die triviale Gruppe mit nur dem Einselement.

Zitat:

Gibt´s den irgendwelche Tricks oder Sätze / Formeln die einem dazu nützlich sein könnten ?

Da musst du das Problem schon einschränken auf spezielle A bzw. B