Stetigkeit, normierte Räume

13.11.2009, 11:06

Nani

Stetigkeit, normierte Räume

Guten Morgen allerseits!

Ich bin an einer harten Nuss:

Seien $\begin{eqnarray*} (X, || \cdot ||_X) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y, || \cdot ||_Y) \end{eqnarray*}$ normierte Räume. Sei zudem f: X --> Y eine stetige Abbildung, die auf der Menge M Teilmenge von X konstant ist, d.h. f(x) = c für alle x Element M und ein c Element Y.
Zu zeigen ist: f ist konstant auf $\begin{eqnarray*} \overline{M} \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist, dass ich momentan gerade nicht sehe, wie ich an die Aufgabe ran soll..also was soll ich wie zeigen, in welcher Reihenfolge etc?

Hier wäre ich um eine Idee sehr dankbar!

Liebe Grüsse,
Nani

13.11.2009, 11:14

Urza

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Wie ist denn deine Definition vom Abschluss einer Menge? Ist dir die Darstellung ( $\begin{eqnarray*} \overline M \end{eqnarray*}$ der Abschluss von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ im metrischen (z.B. normierten) Raum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ): $\begin{eqnarray*} \overline M = M \cup \{ x\in X\, |\, \text{es existiert eine Folge} \, (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\,\text{mit}\, \forall n\in\mathbb{N}\, a_n\in M \, \text{und}\, \lim_{n\to\infty} a_n = x\} \end{eqnarray*}$ bekannt?

Damit geht die Aufgabe sehr schnell.

13.11.2009, 11:29

Nani

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Dankeschöön für die rasante Antwort! :-)

Ja, diese Darstellung ist mir bekannt - ich sogar ebenfalls neben die Aufgabe hingeschrieben.
Ich hätte meine Frage präzisieren sollen: Wie kann ich das f (oder allgemein: die stetige Abbildung) in diese "Definition" einfliessen lassen?

Ich danke diir und wünsche einen schönen Mittag!

13.11.2009, 11:40

Urza

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Nimm dir einen beliebigen Punkt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \overline M \end{eqnarray*}$ vor. Entweder $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ oder es existiert eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , die gegen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ kovergiert. Der erste Fall sollte klar sein, im zweiten Teil ist ja bereits $\begin{eqnarray*} f(x_n)=c \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ bekannt, also..

14.11.2009, 00:29

Nani

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...also f konstant auf $\begin{eqnarray*} \overline{M} \end{eqnarray*}$

Was würde das aber dann für $\begin{eqnarray*} X = Y = \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M = \mathbb Q \end{eqnarray*}$ heissen?

Vielen Dank! Du hast mir sehr geholfen!

14.11.2009, 07:08

Urza

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Zitat:

...also f konstant auf $\begin{eqnarray*} \overline{M} \end{eqnarray*}$

Warum genau? Augenzwinkern

Zitat:

Was würde das aber dann für $\begin{eqnarray*} X = Y = \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M = \mathbb Q \end{eqnarray*}$ heissen?

Was ist denn der Abschluss von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ?

14.11.2009, 13:03

Nani

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..weil f(x_n) gleich einer Konstanten (c) ist (in M), und in (\overline{M}) ändert sich an der Konstanz von f nichts.

Na der Abschluss von Q in R ist wieder R.

14.11.2009, 13:39

Urza

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Zitat:

Original von Nani..weil f(x_n) gleich einer Konstanten (c) ist (in M), und in (\overline{M}) ändert sich an der Konstanz von f nichts.

Der Begriff "Grenzwert" sollte in der Begründung schon irgendwo vorkommen.

Zitat:

Na der Abschluss von Q in R ist wieder R.

Ja.

14.11.2009, 14:24

Nani

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Achso, du meinst der Limes (bzw. Grenzwert) von f(x) für x gegen oo ist (und bleibt) c, also eine Konstante.

Also heisst das, dass X = Y = M ist - oder welche Aussage lässt sich dann machen?

15.11.2009, 11:33

Urza

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Zitat:

Original von NaniAchso, du meinst der Limes (bzw. Grenzwert) von f(x) für x gegen oo ist (und bleibt) c, also eine Konstante.

Ja. Nicht nur irgendeine Konstante, sondern eben die, die $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch auf $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ annimmt.

Zitat:

Also heisst das, dass X = Y = M ist - oder welche Aussage lässt sich dann machen?

Warum sollte $\begin{eqnarray*} X=Y \end{eqnarray*}$ folgen, das hat nichts damit zu tun. Irgendwie scheinst du ein paar sehr grundlegende Dinge nicht verstanden zu haben. Kennst du überhaupt die Definitionen von all den Begriffen, die in der Aufgabenstellung vorkommen. Insbesondere die elementaren Begriffe "Funktion", "Menge", "Folge", "Konvergenz", "Stetigkeit" scheinen nicht ganz klar zu sein? Tut mir leid, wenn ich mich irre, aber basierend auf deinen Antworten erscheint es mir so.

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