Aufgabe zum zentralen Grenzwertsatz

13.11.2009, 11:21	pfeffer2004	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zum zentralen Grenzwertsatz Hallo zusammen, Ich habe folgende Aufgabe bekommen: Zeigen Sie mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes dass $\begin{eqnarray} lim_{n\rightarrow \infty} e^{-n} \sum_{j=0}^{n}{\frac{n^j}{j!}}=\frac {1}{2} \end{eqnarray}$ Bisher beschäftige ich mich mit dem Ansatz: Wenn ich die Summe und mal den Limes weglasse, dann habe ich ja genau die Poissonverteilung mit dem Parameter n. Dann kann ich mir ja die Verteilungsfkt. aufstellen $\begin{eqnarray} P(X=j)=e^{-n} \frac{n^j}{j!} \end{eqnarray}$ mit X ist Poissonverteilt. Wenn ich mir jetzt meine X_i i.i.d wähle, kann ich ja den zentralen Grenzwertsatz anwenden $\begin{eqnarray} \frac{X_1+...+X_n -n²}{\sqrt{n}\sqrt{n}} \rightarrow N(0,1) \end{eqnarray}$ da der Erwartungswert der Possionverteilung ja gerade n und die Varianz Wurzel n ist. Doch hier komm ich jetzt nicht mehr weiter. Ich sehe nicht wie ich auf 1/2 kommen soll. Der Satz sagt mir ja nur, dass es schwach gegen N(0,1) konvergiert. Auch habe ich ja den limes noch nicht verwenden können. Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen und ein paar Tipps geben. Vielen Dank
13.11.2009, 11:58	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zum zentralen Grenzwertsatz Das was du zeigen sollst ist äquivalent zu folgender Aussage: $\begin{eqnarray} P(S_n \leq n^2) = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} S_n := X_1+X_2+...+X_n \end{eqnarray}$ Mein Tipp: $\begin{eqnarray} P(X \leq 0)=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ falls X~N(0,1)

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