Berechnung einer reellen 2*2 Matrix

13.11.2009, 14:58

BioMimi

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Berechnung einer reellen 2*2 Matrix

Hallo, habe grad mit meinem Biowissenschaften Studium begonnen und habe so einige Probleme mit Mathe.
Zur Aufgabe die ich gerade berechnen muss:

"Seien K und M reelle 2 × 2-Matrizen und ? ? R. Zeigen Sie:

a) K ·M ? M · K im allgemeinen.

b) det(K ·M) = det(M · K) = det(K) det(M).

c) det(K^?1) = 1
det(K) = det(K)^?1.

d) det(?K) = ?^2 det(K)"

Ich verstehe echt kein Wort, wäre nett wenn mir jemand die einzelnen Lösungsansätze erklären könnte und Begriffe wie "det" usw. hatte lange kein Mathe und brauche DRINGEND Hilfe.
edit: Das gehört trotzdem nicht in den Titel, daher entferne ich das "DRINGEND" dort
LG sulo

13.11.2009, 15:16

Gast5656

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Sry für die ?
Zeigt es wohl nicht richtig an.

bei den ersten zwei ?? sollte eigentlich stehen Lamda und Element R

bei a soll da eigentlich ungleich stehen

bei c statt dem ? ein -

und bei der letzten d nochmal Lamda

sorry nochmal, hoffe das bringt euch nicht durcheinander

13.11.2009, 15:27

Paranoide

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Also "det" steht für "Determinante" und daher solltest du dich erst einmal über den Begriff der Determinante informieren und wie man sie berechnen kann. Die Determinante ist zum Beispiel um zu sehen, ob ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist; das ist nämlich genau dann der Fall, wenn die Determinante != 0 ist.

Für eine 2x2 Matrix ist die übrigens noch recht einfach zu berechnen, also sei die Matrix A wie folgt:
(a b)
(c d)

dann ist det(A) = a*d - b*c

Aber wie gesagt, informier dich besser erst einmal etwas darüber (z.B. bei Wikipedia oder so!!!)

Lg Michel

13.11.2009, 15:48

BioMimi

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Versuch mich grad durch Wiki zu lesen aber wirklich einfach zu verstehen ist das auch nicht :-p.

Könntest du mir sagen wie ich Aufg.a lösen muss??
Vieleicht hilft mir das zum lösen der anderen.
Auf dem Übungsblatt steht ausserdem das bei a nur ein Gegenbeispiel reicht aber bei den nächsten dann nicht mehr. Man ich verzweifel...

13.11.2009, 16:13

Paranoide

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Naja, dazu solltest du dich mit dem Multiplizieren von Matrizen vertraut machen!
Beispiel für Multiplikation von zwei 2x2 Matrizen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}e & f \\ g & h\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a \cdot e + b \cdot g & a \cdot f + b \cdot h \\ c \cdot e + d \cdot g & d \cdot f + d \cdot h\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.11.2009, 16:15

Kopfrechner

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Hallo,

zunächst ganz tief durchatmen und dann geht's los.

2x2 Matrizenmultiplikation findest du hier und wendest die Vorschrift zum Multiplizieren konsequent an.

Bei Aufgabe a) nimmt man zwei beliebige Matrizen und multipliziert sie nach der angegebenen Vorschrift. Z.B. ist für

$\begin{eqnarray*} K=\begin{pmatrix}2&3\\-4&5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M=\begin{pmatrix}1&0\\2&-3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K*M=\begin{pmatrix}8&-9\\6&-15\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M*K=\begin{pmatrix}2&3\\16&-9\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Du siehst, dass also $\begin{eqnarray*} K*M \ne M*K \end{eqnarray*}$

2x2 Determinanten findest du hier. Die Determinante ist ein Zahlenwert, den man für 2x2 Determinanten erhält aus

| 2 3 |
|-4 5 | = 2*5 - (-4)*3 = 10 + 12 = 22

So, jetzt bist du an der Reihe ..

Gruß vom Kopfrechner

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13.11.2009, 16:55

BioMimi

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Danke erstmal an euch beide ^^ hat mich weiter gebracht.
Ist ja scheinbar doch nicht so schwer wie ich dachte, hoffe ihr helft mir aber weiterhin und schaut mal rein. Bin grad fleißig am rechnen :-).

13.11.2009, 17:29

BioMimi

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Kann es sein das du bei M*K nen Fehler hast?
Statt auf -9 komm ich auf -24

also |2 3|
|16 -24|

;-).

13.11.2009, 17:31

Paranoide

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Zitat:

Original von BioMimi
Kann es sein das du bei M*K nen Fehler hast?
Statt auf -9 komm ich auf -24

also |2 3|
|16 -24|

;-).

-9 ist schon korrekt, denn:
$\begin{eqnarray*} 2 \cdot 3 + (-3) \cdot 5 = 6 - 15 = -9 \end{eqnarray*}$

Lg Michel

13.11.2009, 17:47

BioMimi

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Jap, habs grad bei Aufgabe b. gemerkt.
Muss -9 sein.

Aber ich habe mich an deine Formel gehalten, kann es sein das du da etwas verwechselt hast.

Statt d*g + d*h ist es c*g + d*h

:-D

Egal, so hab ich ichs mit b dann auch geschafft, Juhuu

13.11.2009, 17:51

Paranoide

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Zitat:

Original von BioMimi
Jap, habs grad bei Aufgabe b. gemerkt.
Muss -9 sein.

Aber ich habe mich an deine Formel gehalten, kann es sein das du da etwas verwechselt hast.

Statt d*g + d*h ist es c*g + d*h

:-D

Egal, so hab ich ichs mit b dann auch geschafft, Juhuu

Au mann, du hast natuerlich recht.
Ich hoffe, dir ist klar geworden, wie man es macht. Das ganze ist natuerlich auch auf größere Matrizen so uebertragbar, allerdings muss dann bei A*B immer Spaltenanzahl(A) = Zeilenanzahl(B) gelten.

Lg Michel

13.11.2009, 18:28

BioMimi

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Egal dadurch das du da ausversehen nen Fehler eingebaut hast und ich diesen ja gefunden hab zeigt mir das ja das ich es einigermassen begriffen habe. ;-)

Könnte noch etwas Hilfe zu d brauchen. Wie war das nochmal mit Lambda??

13.11.2009, 18:36

Paranoide

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Vielleicht hilft dir das dafür weiter:

$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot \begin{pmatrix}a & b \\c & d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b \\\lambda c & \lambda d\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Lg Michel

13.11.2009, 18:38

BioMimi

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Hätte da doch noch ne Frage zu c.)

det(K^ -1) = 1 / det(K) = det (K)^ -1

so, also versteh grad nicht ganz den Unterschied zwischen
det(K^ -1) und det(K)^ -1

also, klar ist ja das es da ja eigentlich keinen geben kann, das soll die Aufgabe ja zeigen, verstehe nur den Unterschied der 2 Schreibweisen nicht. (Hoffe ich hab meine Frage verständlich rübergebracht :-p)

13.11.2009, 18:51

tgeucihtnairk

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Bei det (K^-1) muss die Determinante von der Inverse der Matrix K berechnet werden.
Bei det (K)^-1 muss die Determinante von K berechnet werden und das Ergenis ^-1 genommen werden.

EDIT:
Die Inverse von

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist

$\begin{eqnarray*} A^{-1}= \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.11.2009, 18:53

Paranoide

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Naja, ich gehe mal davon aus, dass
$\begin{eqnarray*} det(A^{-1}) \end{eqnarray*}$
bedeutet, dass du die Determinante der invertierten Matrix berechnest und
$\begin{eqnarray*} (det(A))^{-1} = \frac{1}{det(A)} \end{eqnarray*}$

Also:
$\begin{eqnarray*} det(A^{-1}) \neq \frac{1}{det(A)} \end{eqnarray*}$

Lg Michel

13.11.2009, 19:12

BioMimi

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hehe, leicht gesagt, wie war das nochmal mit der inversen Matrix??
Wie berechne ich die?? Kurze Erklärung bitte

13.11.2009, 19:13

tgeucihtnairk

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Ich muss mich korrigieren!!

$\begin{eqnarray*} A^{-1}=\frac{1}{detA} * \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da hatte ich was vergessen, sorry

13.11.2009, 20:11

BioMimi

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Also ist das Ergebnis von c also

det(K ^-1) ungleich 1 / det(K) = det (K)^ -1 ???

und bei bei d also: (L=Lambda)

det (L K) = | L2 L3 |
| L-4 L5 |

L²det(K) = |2 3 |
|-4 5| *Lambda²

und nu...muss ich für Lambda einen festen Wert einsetzen um die Determinante berrechnen zu können???

13.11.2009, 20:12

Kopfrechner

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Hallo BioMimi,

eine inverse Matrix A ^-1 erfüllt die Eigenschaft, dass A*A^-1= E, wobei E die Einheitsmatrix ist: $\begin{eqnarray*} E=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nimm z.B. die Matrix K von oben: $\begin{eqnarray*} K=\begin{pmatrix}2&3\\-4&5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die inverse Matrix dazu ist $\begin{eqnarray*} K^{-1}=\begin{pmatrix}5&-3\\4&2\end{pmatrix}* \frac{1}{22} \end{eqnarray*}$

Überzeuge dich selbst, indem du K* K^-1 berechnest ...

Zur Berechnung der inversen Matrix (die nicht immer existieren muss!), gibt es verschiedene Methoden, eine steht oben schon (habe nicht geprüft, ob sie stimmt)

Im übrigen freue ich mich, dass du erfolgreich eingestiegen bist! Weiter so Freude

Freude

Gruß, Kopfrechner

Edit: Sehe eben, dass du gerade gepostet hast. Meine Antwort bezieht sich auf den Beitrag davor.
Edit2: Wenn du meinen Beitrag zitierst, siehst du, wie man Matrizen in Latex schreibt. Du kannst das auch übernehmen und für deine Zwecke ändern. Ist dann viel besser zu lesen. Bei deinem Lerntempo packst du das auch schnell ..

13.11.2009, 20:26

tgeucihtnairk

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Nein, Du musst keinen Wert einsetzen.

$\begin{eqnarray*} det\begin{pmatrix} \lambda a & \lambda b &\\ \lambda c & \lambda d\end{pmatrix} = (\lambda a*\lambda d) - (\lambda b*\lambda c) = \lambda ^{2} *(ad-bc) \end{eqnarray*}$

Und

$\begin{eqnarray*} \lambda ^{2} det\begin{pmatrix} a & b \\c & d\end{pmatrix} = \lambda ^{2} * (ad-bc) \end{eqnarray*}$

Dein Ergebnis von c ist richtig.

13.11.2009, 20:45

BioMimi

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Cool, danke Kopfrechner
soweit hab ich das dann auch, hat zwar ne Weile gedauert aber immerhin.
Nur wenn ich die inverse Form jetzt hab kann ich dann damit auch weiter rechnen um dann auf die Determinante zu kommen?? Ja oder??

und bei d.) also brauch ich da keine konkreten Werte und beweise einfach das es ungleich ist oder nicht. Naja ich versuchs mal weiter.

13.11.2009, 20:52

tgeucihtnairk

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Bei der d) würde ich es einfach mit a b c d aufschreiben. Das ist dann meines Wissens allgemein genug und zeigt , dass die Gleichung stimmt.

Gruß
Carsten

13.11.2009, 21:25

BioMimi

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Naja, muss da aber scheinbar Werte einsetzen...naja ich machs einfach ma...Danke für die Unterstützung und Hilfe von euch.

13.11.2009, 21:39

Paranoide

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Zitat:

Original von BioMimi
Naja, muss da aber scheinbar Werte einsetzen...naja ich machs einfach ma....

Hmmm, wieso denn? Der vorletzte Post von tgeucihtnairk ist doch schon die Lösung...

Lg Michel

13.11.2009, 22:17

BioMimi

Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu nochmal ne Frage...

$\begin{eqnarray*} det\begin{pmatrix} \lambda a & \lambda b &\\ \lambda c & \lambda d\end{pmatrix} = (\lambda a*\lambda d) - (\lambda b*\lambda c) = \lambda ^{2} *(ad-bc) \end{eqnarray*}$

fälllt da nicht das Lambda² weg und ist dann ungleich???

ne Paranoide, hab nur nochmal auf das Übungsblatt geguckt und da steht man müsse mindesten 2 Beispiele angeben.

13.11.2009, 22:29

Paranoide

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von BioMimi
Dazu nochmal ne Frage...

$\begin{eqnarray*} det\begin{pmatrix} \lambda a & \lambda b &\\ \lambda c & \lambda d\end{pmatrix} = (\lambda a*\lambda d) - (\lambda b*\lambda c) = \lambda ^{2} *(ad-bc) \end{eqnarray*}$

fälllt da nicht das Lambda² weg und ist dann ungleich???

Wo genau meinst du denn, also wo soll das wegfallen? Das, was du da angegeben hast, ist ja für $\begin{eqnarray*} det(\lambda \cdot A) \end{eqnarray*}$ ...du berechnest die Determinante mit den Lambdas IN der Matrix, klammerst sie aus und hast dann das Ergebnis!

Und für $\begin{eqnarray*} \lambda^2 \cdot det(A) \end{eqnarray*}$ kommt ja gerade das gleiche raus!

Zitat:

ne Paranoide, hab nur nochmal auf das Übungsblatt geguckt und da steht man müsse mindesten 2 Beispiele angeben.

Ah, das wusste ich ned! smile

smile

Lg Michel

13.11.2009, 23:11

BioMimi

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ne sry...hab nur nicht verstanden wie ihr auf
Lambda² * (ad - bc) kommt (also speziel auf das Lambda²)

Ich weiß ist Stoff aus der Oberschule mit ausklammern usw. aber hab 2 Jahre nix mit Mathe mehr am Hut gehabt.

(La * Ld - Lb * Lc) (hierbei das Lambda ausklammern) (wie ??) ich weiß, doofe Frage :-)

13.11.2009, 23:34

Paranoide

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Zitat:

Original von BioMimi
ne sry...hab nur nicht verstanden wie ihr auf
Lambda² * (ad - bc) kommt (also speziel auf das Lambda²)

Ich weiß ist Stoff aus der Oberschule mit ausklammern usw. aber hab 2 Jahre nix mit Mathe mehr am Hut gehabt.

(La * Ld - Lb * Lc) (hierbei das Lambda ausklammern) (wie ??) ich weiß, doofe Frage :-)

Nun, das Distributivgesetz geht so:

$\begin{eqnarray*} a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c \end{eqnarray*}$

Und wenn man das rückwärts macht, hat man 'a' ausgeklammert! Genauso funktioniert es bei deiner Formel:
Erstmal ist

$\begin{eqnarray*} \lambda a \cdot \lambda d = \lambda^2 \cdot ad \end{eqnarray*}$ (ist hier ja alles Multiplikation).

Ferner ist dann auch

$\begin{eqnarray*} \lambda b \cdot \lambda c = \lambda^2 \cdot bc \end{eqnarray*}$

Dann hast du also:

$\begin{eqnarray*} =\lambda^2 \cdot ad + \lambda^2 \cdot bc \end{eqnarray*}$

Und darauf wendest du das Distributivgesetz (rückwärts) an, also klammerst $\begin{eqnarray*} \lambda^2 \end{eqnarray*}$ aus:

$\begin{eqnarray*} =\lambda^2 \cdot ad - \lambda^2 \cdot bc = \lambda^2 \cdot (ad - bc) \end{eqnarray*}$

Lg Michel

14.11.2009, 00:49

BioMimi

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Danke :-D

14.11.2009, 20:09

BioMimi

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Hey, da bin ich wieder...hab wieder so meine Probleme...diesmal ist es eine 3x3 Matrix so wies aussieht.

Die Aufgabe lautet:

Berechnen Sie die Determinante von R und prüfen Sie, ob R orthogonal ist, d.h. ob R^tR = Id
gilt (Id bezeichnet die Einheitsmatrix). Berechnen Sie auch noch die Determinante. Wie lässt sich
demnach R geometrisch interpretieren?

Da die Matrix etwas zu komplex ist und ich noch keine Zeit hatte mich Latex Code auseinander zu setzen hab ich sie abgeschrieben und hochgeladen. Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

[attach]12001[/attach]

14.11.2009, 20:57

Kopfrechner

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Hallo Mimi,

wo liegen denn diesmal die Probleme?

Berechnung der Determinante? Stichwort z.B. Regel von Sarrus oder Determinantenentwicklungssatz

tR soll vermutlich die zu R transponierte Matrix sein, die ist leicht aufzuschreiben

R^tR = Id? Hieß es wirklich potenzieren? Oder nicht eher R * tR = E prüfen?

Bestimmte Werte der Determinanten lassen Rückschlüsse auf die Art der Abbildung zu. Besonders interessant wird das für Det R= 1 oder Det R = -1.

Und noch etwas: Neue Probleme bitte in einem neuen Thread aufmachen, das geht sonst leicht unter.

Gruß, Kopfrechner

16.11.2009, 14:07

mesche

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Hi,
Kann mir vllt. bitte einer noch mal erklären wie man auf

A^-1= 1/ det (A) * d -b
-c a

kommt?

die berechung der det ist mir klar und 1 durch eben so nur wie komme ich auf
die inverse Matrix??

A|E ?? und wenn ja wie rechnent man das?

16.11.2009, 14:54

tgeucihtnairk

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo mesche,

wurde zwar in diesem thread schon einmal geschrieben, aber gut....

Die Inverse zu einer Matrix

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

lautet

$\begin{eqnarray*} A^{-1}=\frac{1}{det(A)} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

16.11.2009, 14:56

mesche

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jo das hab ich gelesen ich versteh jedoch nicht die rechen schritt wie ich auf

d -b
-c a

komme smile

smile

16.11.2009, 15:02

tgeucihtnairk

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achso...

Da gibts ne allgemeine Formel für, die ich Dir aber auch nicht erklären kann Big Laugh

Big Laugh

Wenn ich aber dein " A|E " richtig deute, meintst du doch, dass man sich links die Matrix A hinschreibt, und rechts die Einheitsmatrix, oder?
Das kannst Du auch machen. Dann musst Du versuchen mittels der elementaren Umformungen links die Einheitsmatrix zu erzeugen. Dann steht auf der rechten Seite $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$

Also

A|E --> E|A^(-1)

16.11.2009, 15:05

mesche

Auf diesen Beitrag antworten »

genau so mein ich des ;>

nur die Umformungen sind mir nicht ganz klar ;D

wie du auf die inverse gekommen ?

16.11.2009, 15:09

tgeucihtnairk

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Zitat:

Original von tgeucihtnairk

$\begin{eqnarray*} A^{-1}=\frac{1}{det(A)} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das steht in meiner Formelsammlung Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.11.2009, 14:45

BioMimi

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Hey Mesche,
hab da ne Seite für dich die dich vieleicht intressieren könnte.
http://www.oberprima.com/index.php/matrix-invertieren-determinante/nachhilfe

Dort wird in einem Video erklärt wie du die inverse Form hinkriegst.
Hab übrigens die obrige Aufgabe immer noch nicht gelöst :-O.

17.11.2009, 17:06

tgeucihtnairk

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Mimi,

dann geh doch mal zu wikipedia und suche nach "Regel von Sarrus" und nach "Orthogonale Matrix". Augenzwinkern

Augenzwinkern

In den zwei Artikeln stehen die Lösungen praktisch schon drin.

Sollten dennoch Fragen bestehen, helfe ich Dir gerne.

Gruß
Carsten

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